[行列解析4.6.P21]

4.6.問題21

4.6.P21

\(A \in M_n\) が共役対角化可能（condiagonalizable）であるとする。次のアルゴリズムにより、\(A \bar{A}\) の通常の対角化から \(A\) の共役対角化を構成する手順を詳細に説明せよ。 \(A \bar{A} = S \Lambda S^{-1}\)、\(\Lambda = \lambda_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus \lambda_d I_{n_d}\) は \(A \bar{A}\) の異なる固有値 \(\lambda_1 > \cdots > \lambda_d \ge 0\) であり、非特異行列 \(S\) は \(\Lambda\) に応じて分割され \(S = [S_1 \dots S_d]\) とする。各 \(j\) について \(\lambda_j > 0\) なら \(\sigma_j = \sqrt{\lambda_j} > 0\)、\(\lambda_d = 0\) なら \(\sigma_d = 1\) とする。次に \(\Phi = \sigma_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus \sigma_d I_{n_d}\) とする。各 \(j = 1, \dots, d\) について、\(\theta_j \in [0, \pi)\) を選び、\(Y_j = e^{-i \theta_j} A \bar{S_j} + e^{i \theta_j} \sigma_j S_j\) とし、\(\mathrm{rank}\,Y_j = n_j\) となるようにする（最大で \(n_j\) 個の値は除外される）。\(\lambda_d = 0\) の場合は \(\theta_d = 0\)。\(Y = [Y_1 \dots Y_d]\) とすると、\(A \bar{Y} = Y \Phi\) かつ \(Y\) は非特異であり、よって \(A = Y \Phi \bar{Y}^{-1}\) は共役対角化である。さらに \(\Theta = e^{i \theta_1} I_{n_1} \oplus \cdots \oplus e^{i \theta_d} I_{n_d}\) として、\(Y = A \bar{S} \bar{\Theta} + S \Phi \Theta\) が成り立つ。各 \(n_j = 1\) の場合はどうなるか？(4.6.8) と比較せよ。