[行列解析4.4.P3]

4.4.問題3

(4.4.4c) の別のアプローチの詳細を示せ。

行列 \(A \in M_n\) を対称とする。

(a) \(A\overline{A}\) はエルミートなので、
\(A\overline{A} = V \Sigma_1 V^*\) と書ける。

ここで \(V\) はユニタリ、\(\Sigma_1\) は実対角行列。

(b) \(V^* A \overline{V} = B\) は対称かつ正規なので、(2.5.P57) により
\(B = Q \Sigma Q^T\) と書ける。
ここで \(\Sigma\) は対角、\(Q\) は実直交行列。

(c) よって
\(A = (VQ) \Sigma (VQ)^T\) が成り立つ。

さらに \(\Sigma = E \Lambda E^T\) として、
\(E, \Lambda\) は対角かつユニタリ、
\(\Lambda\) は非負とすると、
\(A = U \Lambda U^T\) で
\(U = VQE\) となる。