[行列解析4.3.P26]

4.3.問題26

4.3.P26

\(A, B \in M_n\) を三重対角行列とする。
(a) \(A\) および \(B^*\) が既約 (0.9.9) であり、\(\lambda \in \mathbb{C}\) とする。このとき、\(AB^* - \lambda I\) の最初の \(n-2\) 列は一次独立であることを説明し、従って任意の \(\lambda \in \mathbb{C}\) に対して \(\mathrm{rank}(AB - \lambda I) \geq n-2\) となることを示せ。なぜ \(AB\) の固有値の幾何的重複度は高々 2 となるのかを説明せよ。
(b) \(A\) のすべての上副対角成分および下副対角成分が 0 でない（すなわち \(A\) が既約である）場合、なぜ \(A\) のすべての特異値の重複度が高々 2 であるのかを説明せよ。
(c) 次の既約三重対角行列の固有値と特異値を求めよ。