4.1.問題5
4.1.P5
行列がすべて実固有値をもつことを、エルミート行列に相似であることから示せる場合がある。\(A = [a_{ij}] \in M_n(R)\) を三重対角行列とする。すべての \(i = 1, 2, \dots, n-1\) について \(a_{i,i+1} a_{i+1,i} > 0\) とする。正の対角要素をもつ実対角行列 D が存在して、\(DAD^{-1}\) が対称行列となることを示し、A の固有値がすべて実であることを結論せよ。次の行列を考えよ：
\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}
非対角要素の符号に関する仮定が必要である理由を説明せよ。
すべての \(i = 1, 2, \dots, n-1\) について \(a_{i,i+1}a_{i+1,i} \ge 0\) である場合でも、固有値が実である結論が成り立つことを極限を使って示せ。
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