4.1.問題4
4.1.P4
(4.1.1) の後の1–9の次の主張を確認せよ。
解答例
1. \(A + A^*\)、\(AA^*\)、および \(A^*A\) はエルミート行列である。
\begin{align}
(A + A^*)^*
&=A^*+(A^*)^* \notag \\
&=A^*+A \notag \\
&=A+A^*\notag
\end{align}\begin{align}
(A A^*)^*
&=(A^*)^*A^* \notag \\
&=AA^* \notag \\
\end{align}\begin{align}
(A^* A)^*
&=A^*(A^*)^* \notag \\
&=A^*A \notag \\
\end{align}2. \(A\) がエルミートであれば、全ての \(k = 1, 2, 3, \dots\) に対して \(A^k\) もエルミートである。また、\(A\) が正則であれば、\(A^{-1}\) もエルミートである。
3. \(A\) と \(B\) がエルミートであれば、任意の実数 \(a, b\) に対して \(aA + bB\) もエルミートである。
4. \(A - A^*\) は歪エルミートである。
5. \(A\) と \(B\) が歪エルミートであれば、任意の実数 \(a, b\) に対して \(aA + bB\) も歪エルミートである。
6. \(A\) がエルミートであれば、\(iA\) は歪エルミートである。
7. \(A\) が歪エルミートであれば、\(iA\) はエルミートである。
8. 次の分解が成り立つ：\( A = \frac{1}{2}(A + A^*) + \frac{1}{2}(A - A^*) = H(A) + S(A) = H(A) + i K(A) \),ここで、\(H(A) = \frac{1}{2}(A + A^*)\) は \(A\) のエルミート成分、\(S(A) = \frac{1}{2}(A - A^*)\) は歪エルミート成分、\(K(A) = \frac{1}{2i}(A - A^*)\) である。
9. \(A\) がエルミートであれば、主対角成分はすべて実数である。\(A\) の \(n^2\) 個の要素を指定するには、主対角成分に任意の \(n\) 個の実数を選び、非対角成分には任意の \(\frac{1}{2} n(n-1)\) 個の複素数を選べばよい。
10. \(A = C + i D\) と書き、\(C, D \in M_n(\mathbb{R})\) とすると（\(A\) の実部と虚部）、\(A\) はエルミートであることと、\(C\) が対称で \(D\) が歪対称であることは同値である。
11. 実対称行列は複素エルミート行列である。
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