[行列解析3.4.P4]

3.4.問題4

\(A \in M_n\) の異なる固有値を \(\lambda_1,\ldots,\lambda_d\)、それぞれの指数を \(q_1,\ldots,q_d\) とする。

(a) 次を示せ：

\dim C(A) = \sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{q_j} w_i(A,\lambda_j)^2

(b) \(\dim C(A) \ge n\) であり、等号成立は \(A\) が非退化（nonderogatory）であるとき、かつそのときに限ることを示せ。

(c) 各固有値 \(\lambda_j\) のセグレ特性（Segre characteristic）を \(s_i(A,\lambda_j), \, i=1,\ldots,w_1(A,\lambda_j)\) とする。既知の結果として次がある：

\dim C(A) = \sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{w_1(A,\lambda_j)} (2i-1)\, s_i(A,\lambda_j)

（参考：Horn and Johnson (1991), 4.4節の問題9）。

次を説明せよ：

\sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{q_j} w_i(A,\lambda_j)^2 = \sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{w_1(A,\lambda_j)} (2i-1)\, s_i(A,\lambda_j)

(3.1.16a) の行列について、この恒等式を検証せよ。