3.3 問題30
.3.P30
\( A, K \in M_n \) とし、\( K \) は反転行列（involution, \( K^2 = I \)）であり、\( A = -KAK \) が成り立つとする。このとき次を示しなさい。
(a) ある \( m \in \{0,1,\ldots,n\} \) と、行列 \( A_{12} \in M_{m,n-m}, A_{21} \in M_{n-m,m} \) が存在して、\( A \) は次の行列 \( B \) に相似である：
B =
\begin{bmatrix}
0_m & A_{12} \\
A_{21} & 0_{n-m}
\end{bmatrix}
また、\( KA \) は次の行列に相似である：
\begin{bmatrix}
0_m & A_{12} \\
- A_{21} & 0_{n-m}
\end{bmatrix}
(b) \( A \) は \( iKA \) に相似である。したがって、\(\lambda\) が \( A \) の固有値であることと、\( i\lambda \) が \( KA \) の固有値であることは同値である。
(c) \( A \in M_n \) が歪中心対称行列（skew centrosymmetric, (0.9.10)）であり、\( K_n \) が逆順行列 (0.9.5.1) である場合、\( A \) は \( iK_n A \) に相似である。したがって、\(\lambda\) が \( A \) の固有値であることと、\( i\lambda \) が \( K_n A \) の固有値であることは同値である。この場合、\( K_n A \) は \( A \) の行を逆順に並べた行列である。
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