[行列解析3.3.P20]

3.3　問題20

(3.3.12)

A = \begin{bmatrix} 0 & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & & & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix} \in M_n

\( A, B \in M_n \) をコンパニオン行列 (3.3.12)、\(\lambda \in \mathbb{C}\) とする。

(a) \(\lambda\) が \( A \) の固有値であるのは、\( x_\lambda = [1, \lambda, \lambda^2, \ldots, \lambda^{n-1}]^T \) が \( A^T \) の固有ベクトルであるとき、かつそのときに限ることを示せ。

(b) \(\lambda\) が \( A \) の固有値であるなら、\(\lambda\) に対応する \( A^T \) の固有ベクトルはすべて \( x_\lambda \) のスカラー倍であることを示せ。したがって、\( A \) の各固有値の幾何的重複度は 1 である。

(c) \( A^T \) と \( B^T \) が共通の固有ベクトルを持つのは、共通の固有値を持つとき、かつそのときに限ることを説明せよ。

(d) もし \( A \) が \( B \) と可換であるなら、\( A, B \) は共通の固有値を持たねばならないことを示せ。