3.3 問題2
問題文
\( A \in M_n \) が異なる固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) をもつとする。
次のアルゴリズムにより、\( A \) の最小多項式 (3.3.7) が決定される理由を説明せよ：
各 \( i = 1, \ldots, d \) について、\( k = 1, \ldots, n \) に対して \( (A - \lambda_i I)^k \) を計算する。
次に、次を満たす最小の \( k \) を \( r_i \) とせよ：
\operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^k = \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^{k+1}
解答例
鍵となる事実
- 一次因子分解: \(A\) の最小多項式 \(m_A(x)\) は \[ m_A(x)=\prod_{i=1}^d (x-\lambda_i)^{s_i} \] と書け、各指数 \(s_i\) は固有値 \(\lambda_i\) に対応するジョルダン標準形の中での最大ブロックサイズに等しい（主分解定理）。
- 冪零化とジョルダン形: \(N_i:=A-\lambda_i I\) を \(\lambda_i\) に対応する一般固有空間に制限すると冪零作用素になり、 そのジョルダンブロックの最大サイズを \(s_i\) とすると、 \[ (N_i)^{s_i}=0,\quad (N_i)^{s_i-1}\neq 0. \] したがって \((x-\lambda_i)^{s_i}\) が \(m_A(x)\) に現れる最小の指数である。
階数安定化と最大ジョルダンブロック
- 階数列の単調性: 冪零行列 \(N\) に対して \(\operatorname{rank}(N^k)\) は \(k\) とともに非増加で、やがて \(0\) に達する。
- 安定化の最小時刻: \(N\) のジョルダン分解を \(J_{s_1}(0)\oplus\cdots\oplus J_{s_r}(0)\) とすると \[ \operatorname{rank}(N^k)=\sum_{j=1}^r \max\{s_j-k,\,0\}. \] この値が初めて安定化（すなわち \(\operatorname{rank}(N^k)=\operatorname{rank}(N^{k+1})\)）するのは \(k = \max_j s_j\) のときで、このとき以降は両辺とも \(0\) である。ゆえに 階数が初めて変わらなくなる最小の \(k\) は、最大ジョルダンブロックのサイズに等しい。
- 本問題への適用: \(N=A-\lambda_i I\) に対して同じ議論が成り立ち、 アルゴリズムで得られる \[ r_i := \min\{k:\operatorname{rank}(N^k)=\operatorname{rank}(N^{k+1})\} \] は、\(\lambda_i\) に対する最大ジョルダンブロックのサイズ \(s_i\) と一致する。
結論: アルゴリズムが最小多項式を与える理由
上記より各 \(i\) について \(r_i=s_i\) であり、 最小多項式は \[ m_A(x)=\prod_{i=1}^d (x-\lambda_i)^{r_i} \] で与えられる。よって、提示の手順により \(A\) の最小多項式が決定される。
補足
- 計算の有限性: \(r_i\le n\) なので、\(k=1,\ldots,n\) の探索で必ず停止する。
- 固有値が異なる仮定: 異なる固有値 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_d\) を仮定しているため、 最小多項式は一次因子 \((x-\lambda_i)\) の冪の積に分解され、 各因子の指数は上記の階数安定化で個別に決まる。
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