[行列解析3.2.P8]特性多項式から求めるジョルダン標準形

3.2.P8

3.2問題8

特性多項式 \( p_A(t) = (t+3)^4 (t-4)^2 \) を持つ \( A \in M_6 \) の可能なジョルダン標準形は何ですか？

特性多項式 \( p_A(t)=(t+3)^4(t-4)^2 \) から、固有値とその代数的重複度が分かる。固有値は \( -3 \) と \( 4 \) であり、それぞれの代数的重複度は \(4\) と \(2\) である。

ジョルダン標準形では、各固有値ごとにジョルダンブロックを並べる。ブロックの大きさの合計がその固有値の代数的重複度に等しくなるように分割を考えればよい。

したがって固有値 \( -3 \) については \(4\) の分割、固有値 \(4\) については \(2\) の分割をすべて考えることで、可能なジョルダン標準形を列挙できる。

行列 \( A \in M_6 \) の特性多項式が \( p_A(t)=(t+3)^4(t-4)^2 \) であるとする。

したがって固有値と代数的重複度は \( -3 \) が \(4\)、\( 4 \) が \(2\) である。

ジョルダン標準形は、各固有値ごとにジョルダンブロックを並べた対角ブロック行列になる。

まず固有値 \( -3 \) について考える。大きさの和が \(4\) になるジョルダンブロックの分割は

4,\quad 3+1,\quad 2+2,\quad 2+1+1,\quad 1+1+1+1

である。

次に固有値 \(4\) については、大きさの和が \(2\) になる分割は

2,\quad 1+1

である。

したがってジョルダン標準形は、固有値 \( -3 \) のジョルダンブロック（大きさの和が4）と、固有値 \(4\) のジョルダンブロック（大きさの和が2）を対角に並べた行列として得られる。

例えば最大のジョルダンブロックを持つ場合は

J= \begin{bmatrix} J_4(-3) & 0 \\ 0 & J_2(4) \end{bmatrix}

またすべて \(1\times1\) ブロックの場合は

J=\mathrm{diag}(-3,-3,-3,-3,4,4)

である。

一般には、固有値 \( -3 \) のブロックサイズが \(4\) の分割、固有値 \(4\) のブロックサイズが \(2\) の分割となるすべての組合せが、可能なジョルダン標準形である。

まず固有値 \( -3 \) に対応するジョルダンブロックの分割は次の5通りである。

\begin{aligned} & J_4(-3) \quad \\ & J_3(-3)\oplus J_1(-3) \quad \\ & J_2(-3)\oplus J_2(-3) \quad \\ & J_2(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_1(-3) \quad \\ & J_1(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_1(-3) \end{aligned}

次に固有値 \(4\) の分割は次の2通りである。

\begin{aligned} & J_2(4)\quad \\ & J_1(4)\oplus J_1(4) \end{aligned}

したがって可能なジョルダン標準形は次の10通りである。

\begin{aligned} & J_4(-3)\oplus J_2(4) \\ & J_4(-3)\oplus J_1(4)\oplus J_1(4) \\ & J_3(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_2(4) \\ & J_3(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_1(4)\oplus J_1(4) \\ & J_2(-3)\oplus J_2(-3)\oplus J_2(4) \\ & J_2(-3)\oplus J_2(-3)\oplus J_1(4)\oplus J_1(4) \\ & J_2(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_2(4) \\ & J_2(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_1(4)\oplus J_1(4) \\ & J_1(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_2(4) \\ & J_1(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_1(-3)\oplus J_1(4)\oplus J_1(4) \end{aligned}

以上の10通りが、特性多項式 \( (t+3)^4(t-4)^2 \) を持つ \( A\in M_6 \) の可能なジョルダン標準形である。