[行列解析3.2.P19]

3.2問題19

3.2.P19

\(A\in M_n\)、\(\lambda\) を \(A\) の固有値とする。(a) 次の2条件が同値であることを示せ： (i) \(\lambda\) に対応する \(A\) のすべてのジョルダンブロックのサイズが 2 以上である；(ii) \(\lambda\) に対応する任意の固有ベクトルは \(A-\lambda I\) の像に含まれる。

(b) 次の5条件が互いに同値であることを示せ：

(i) あるジョルダンブロックが \(1\times1\) である；

(ii) \(Ax=\lambda x\) を満たす非零ベクトル \(x\) が存在し、かつ \(x\) は \(A-\lambda I\) の像に属さない；

(iii) \(Ax=\lambda x\) を満たす非零ベクトル \(x\) が存在し、かつ \(x\) は \(A^*-\overline{\lambda}I\) の零空間に直交していない；

(iv) 非零ベクトル \(x,y\) が存在して \(Ax=\lambda x,\; y^*A=\lambda y^*\) かつ \(x^*y\neq 0\)；

(v) \(A\) はある \(B\in M_{n-1}\) に相似であり、\(A\sim [\lambda]\oplus B\) である。