[行列解析3.2]注記および参考文献

3.2 注と参考文献
注と参考文献:
行列解析の総本山

3.2 注と参考文献

注と参考文献:

最適性の性質 (3.2.9.4) と等号成立の場合の特徴づけについては、R. Brualdi, P. Pei, and X. Zhan, An extremal sparsity property of the Jordan canonical form, Linear Algebra Appl. 429 (2008) 2367–2372 を参照。

問題 3.2.P21 は \( AB \) と \( BA \) の冪零ジョルダン構造が一致するとは限らないことを示すが、次の意味で大きく異なることはない。

すなわち、\( AB \) の冪零ジョルダンブロックの大きさを \( m_1 \geq m_2 \geq \cdots \)、\( BA \) の冪零ジョルダンブロックの大きさを \( n_1 \geq n_2 \geq \cdots \) とすると（必要なら零を補って長さを揃える）、任意の \( i \) に対して

|m_i - n_i| \leq 1

が成り立つ。

この議論と証明については、C. R. Johnson and E. Schreiner, The relationship between AB and BA, Amer. Math. Monthly 103 (1996) 578–582 を参照。

Weyr 特性を用いた全く異なる証明は、R. Lippert and G. Strang, The Jordan forms of AB and BA, Electron. J. Linear Algebra 18 (2009) 281–288 を参照。

問題 (3.2.P31) と (3.2.P32) における行列とその転置の相似性に関する議論は Ignat Domanov によるものであり、これら 2 つの問題の主張は P. Halmos, Eigenvectors and adjoints, Linear Algebra Appl. 4 (1971) 11–15 における定理 3 である。問題 3.2.P34 は G. Goodson による。