[行列解析3.1.P6]具体例によるジョルダン標準形

3.1.P6

3.1問題6

定理3.1.11

\(A \in M_n\) が与えられているとする。このとき、正則行列 \(S \in M_n\)、正の整数 \(q\) および \(n_1, \ldots, n_q\) （ただし \(n_1 + n_2 + \cdots + n_q = n\)）、さらにスカラー \(\lambda_1, \ldots, \lambda_q \in \mathbb{C}\) が存在して、次が成り立つ。
(3.1.12)
A = S
\begin{bmatrix}
J_{n_1}(\lambda_1) & & \\
 & \ddots & \\
 & & J_{n_q}(\lambda_q)
\end{bmatrix}
S^{-1}
ジョルダン行列 \(J\) の対角ブロックを順列変換（順列相似）することにより、次の形にできる：
J = J_{m_1}(\lambda) \oplus \cdots \oplus J_{m_p}(\lambda) \oplus \hat{J}
ここで \(\hat{J}\) は固有値が \(\lambda\) と異なるジョルダンブロックの直和である。

これは、大きさの異なる \(p\) 個の冪零ジョルダンブロックと、非特異なジョルダン行列 \(\hat{J} - \lambda I \in M_m\) の直和である。

さらに、各 \(k = 1, 2, \ldots\) に対して、\((A - \lambda I)^k\) は次の行列と相似である：
\begin{align}
& (J - \lambda I)^k \notag \\
& = J_{m_1}(0)^k \oplus \cdots \oplus J_{m_p}(0)^k \oplus (\hat{J} - \lambda I)^k \notag 
\end{align}
直和の階数は各成分の階数の総和である。

（3.1.11）の証明の3つの手順を実行して、次の行列のジョルダン標準形を求めなさい。

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

および

\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}

またこれらの行列について、Weyr 特性と Segre 特性（3.1.18）を用いて答えを確認しなさい。

ヒント

まず固有値を求め、その代数的重複度を調べる。次に \((A-\lambda I)^k\) の階数や核の次元を計算し、幾何学的重複度を求める。核の次元の増え方からジョルダンブロックの大きさ（Segre 特性）を決定できる。

Weyr 特性は \(\dim \ker (A-\lambda I)^k\) の増分列であり、Segre 特性はジョルダンブロックの大きさを大きい順に並べたものである。

解答例

(1) 行列 \(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\) を考える。

行列

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

の特性多項式を求める。

\chi_A(t) = \det \begin{bmatrix} t-1 & -1 \\ -1 & t-1 \end{bmatrix} = (t-1)^2 -1 = t^2 -2t = t(t-2)

したがって固有値は \(0\) と \(2\) である。互いに異なるので、ジョルダン標準形は対角行列になる。

まず固有値 \(2\) に対する固有ベクトルを求める。

(A-2I)x=0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} =0

これより \(x_1=x_2\) である。したがって固有ベクトルの一つは

v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

である。

次に固有値 \(0\) に対する固有ベクトルを求める。

Ax=0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} =0

これより \(x_1=-x_2\) である。したがって固有ベクトルの一つは

v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}

である。

これらを並べて

S = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

とおくと、\(S\) は正則である（\(\det S=-2\neq 0\)）。

このときジョルダン標準形は

J = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

であり、実際に \(A = S J S^{-1}\) が成り立つ。

各固有値に対してブロックは 1 次であるから、Segre 特性はそれぞれ \((1)\)、Weyr 特性も \((1)\) である。

(2) 行列 \(A=\begin{bmatrix}3&1&2\\0&3&0\\0&0&3\end{bmatrix}\) を考える。

\chi_A(t) = (t-3)^3

固有値は \(3\) のみで、代数的重複度は 3 である。

固有ベクトルは

(A-3I)x=0

を解いて求める。

A-3I = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

\(x=(x_1,x_2,x_3)^{\top}\) とすると、連立方程式は

x_2 + 2x_3 = 0

のみである。

したがって \(x_1\) と \(x_3\) は自由変数であり、 \(x_2=-2x_3\) である。

よって固有ベクトルは

x = \begin{bmatrix} x_1 \\ -2x_3 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}

と表される。

したがって固有空間は \(\operatorname{span}\left\{(1,0,0)^{\top},\,(0,-2,1)^{\top}\right\}\) であり、幾何学的重複度は 2 である。

S=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{bmatrix}

とおくと、

A= \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

次に \(A-3I\) を計算する。

A-3I = \begin{bmatrix} 0&1&2\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}

この行列の階数は 1 であるから、 \(\dim \ker (A-3I)=3-1=2\) である。よって幾何学的重複度は 2 である。

したがってジョルダンブロックは 2 個であり、その大きさの和は 3 であるから、可能性は \(2\) と \(1\) である。

さらに \((A-3I)^2\) を計算すると

(A-3I)^2 = 0

である。したがって最大ブロックの大きさは 2 である。

よってジョルダン標準形は

J = J_2(3) \oplus J_1(3)

である。Segre 特性は \((2,1)\) である。

Weyr 特性は \(\dim \ker (A-3I)=2\), \(\dim \ker (A-3I)^2=3\) より、その増分は \(2,1\) である。したがって Weyr 特性は \((2,1)\) である。

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