[行列解析3.1.P10]ジョルダンブロックの符号反転

3.1.P10

3.1問題10

任意の \(\lambda\in \mathbb{C}\) と任意の正整数 \(k\) に対し、\(-J_k(\lambda)\) のジョルダン標準形が \(J_k(-\lambda)\) であることを示しなさい。特に、\(-J_k(0)\) のジョルダン標準形は \(J_k(0)\) である。

ジョルダンブロックは \(J_k(\lambda)=\lambda I+N\) （ただし \(N\) は上に1をもつ冪零行列）と書ける。

\(-J_k(\lambda)\) は \(-\lambda I-N\) である。対角成分は \(-\lambda\) になり、上の 1 は符号が変わるが、適当な対角行列で相似変換すると再び 1 に戻せる。

ジョルダンブロックは

J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & 0 \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ 0 & & & \lambda \end{pmatrix}

である。

これに \(-1\) を掛けると

- J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} -\lambda & -1 & & 0 \\ & -\lambda & \ddots & \\ & & \ddots & -1 \\ 0 & & & -\lambda \end{pmatrix}

となる。固有値は明らかに \(-\lambda\) であり、代数的重複度は \(k\) である。

ここで対角行列

D=\operatorname{diag}(1,-1,1,-1,\ldots)

を考える。このとき直接計算により

D^{-1}(-J_k(\lambda))D = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & & 0 \\ & -\lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ 0 & & & -\lambda \end{pmatrix} = J_k(-\lambda)

が成り立つ。

したがって \(-J_k(\lambda)\) は \(J_k(-\lambda)\) と相似であり、ジョルダン標準形は

J_k(-\lambda)

である。

特に \(\lambda=0\) のときは

- J_k(0) \sim J_k(0)

となる。