[行列解析8.4]問題集

8.4.問題集

以下では、既約かつ非負な行列に関する補題・定理の理解を深めるための練習問題を示す。

各問題は、第8章の結果（特に(8.2.11)および(8.4.4)など）に基づいており、固有値や最大固有値の性質を確認することを目的としている。

8.4.P1　

(8.2.11) に含まれているが (8.4.4) には含まれていない項目が、既約な非負行列に対して一般には成り立たないことを、具体的な例を挙げて示せ。

8.4.P2　

ある行列 \( A \in M_n \) に対して、\( \rho(I + A) \ne \rho(A) + 1 \) となる例を挙げよ。また、\( \rho(I + A) = \rho(A) + 1 \) が成り立つための必要十分条件を与えよ。さらに、この条件が \( A \) が非負行列である場合に満たされる理由を説明せよ。

8.4.P3　

既約性は、非負行列が正の固有ベクトルをもつための十分条件ではあるが、必要条件ではない。次の2つの行列を考えよ：

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

これらを用いて、非負行列が既約でなくても正の固有ベクトルをもつ場合ともたない場合があることを示せ。

8.4.P4　

\( n \ge 2 \) かつ \( A \in M_n \) が既約で非負行列であるとする。このとき、行列列 \( (\rho(A)^{-1} A)^m \) の各成分が \( m \to \infty \) のときに一様に有界であることを示せ。

8.4.P5　

もし \( A, B \in M_n \) ならば、\( AB \) と \( BA \) は同じ固有値をもつ。次の2つの行列を考えよ：

\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

(a) たとえ \( A \) および \( B \) が非負であっても、\( AB \) は既約であるのに \( BA \) は既約でない場合があることを説明せよ。

(b) 既約行列が既約でない行列と相似（あるいはユニタリ相似）であることがありうる理由を説明せよ。

8.4.P6　

(8.3.P6(a)) における主張が、仮定「\( B \) が正である」が「\( B \) が既約かつ非負である」というより弱い仮定に置き換えられても正しいことを示せ。

8.4.P7　

多項式 \( t^k - 1 = 0 \) のフロベニウスの同伴行列が、最大固有値の絶対値をもつ固有値を \( k \) 個もつ \( k \times k \) の非負行列の例であることを示せ。

また、これらの固有値の複素平面上での位置を概略的に示せ。

8.4.P8　

正の整数 \( p, q, r \) が与えられているとする。サイズ \( p + q + r \) の非負行列を構成し、その最大固有値の絶対値をもつ固有値が、単位根のうち \( p \) 次、\( q \) 次、\( r \) 次のものすべてとなるようにせよ。

8.4.P9　

既約かつ非負な行列 \( A \in M_n \) が、最大固有値の絶対値をもつ固有値を \( k \ge 1 \) 個もつとき、\( A \) は「指数 \( k \) の巡回的（cyclic）」であるという。この用語の妥当性について議論せよ。

8.4.P10　

もし \( A \in M_n \) が指数 \( k \ge 1 \) の巡回的行列であるなら、その特性多項式は次のように表されることを示せ：

p_A(t) = t^r (t^k - \rho(A)^k)(t^k - \mu_2^k)\cdots(t^k - \mu_m^k)

ここで、\( r, m \) は非負整数であり、\( |\mu_i| \lt \rho(A) \) （\( i = 2, \ldots, m \)）を満たす複素数 \(\mu_i\) が存在する。特性多項式 \( p_A(t) \) における係数の零・非零パターンについてコメントし、この形から、最大固有値の絶対値をもつ固有値が1つしか存在しないための判定条件を導け。

以下の問題では、既約非負行列およびペロン–フロベニウス理論のさらなる性質、ならびに最良ランク1近似や固有値の性質について考察する。

8.4.P11　

\( n \gt 1 \) が素数であるとする。もし \( A \in M_n \) が既約・非負かつ非特異であるならば、\( \rho(A) \) が最大絶対値をもつ唯一の固有値であるか、またはすべての固有値が最大絶対値をもつことを説明せよ。

8.4.P12　

多項式 \( p(t) \) が (3.3.11) の形であり、かつ \( a_0 \ne 0 \) であるとする。

次に次の多項式を考える：

\tilde{p}(t) = t^n - |a_{n-1}|t^{n-1} - \cdots - |a_1|t - |a_0|

\(\tilde{p}(t)\) が単純な正の零点 \( r \) をもち、その \( r \) が \(\tilde{p}(t)\) および \(p(t)\) の零点の絶対値を上回らないことを示せ。

さらに、\(\tilde{p}(t)\) がちょうど \(k \gt 1\) 個の絶対値 \(r\) をもつ零点をもつ場合、これらの零点について何が言えるかを述べよ。

8.4.P13　

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が既約かつ非負であるとし、\( x = [x_i] \)、\( y = [y_i] \) をそれぞれ \(A\) の右ペロンベクトルおよび左ペロンベクトルとする。

(a) 各 \( i, j \in \{1, \ldots, n\} \) に対し、\( \rho(A) \) が \( a_{ij} \) の微分可能関数であり、

\frac{\partial \rho(A)}{\partial a_{ij}} = x_i y_j

が成り立つことを説明せよ。

(b) すべての \( i, j \) に対して \(\frac{\partial \rho(A)}{\partial a_{ij}} \gt 0\) である理由を説明せよ。

8.4.P14　

\( A, B \in M_n \) が非負行列であり、\( A \) が既約であるとする。

(a) 前問を用いて、\( B \ne 0 \) のとき \( \rho(A + B) \gt \rho(A) \) が成り立つことを示せ。

(b) \( A + B \) が既約であることを説明し、(8.4.5) を用いて \( B \ne 0 \) のときも \( \rho(A + B) \gt \rho(A) \) であることを示せ。

8.4.P15　

\( A \in M_n \) を非負行列とする。

(a) \( A \) が既約であるとき、任意の非負固有ベクトルが \( A \) のペロンベクトルの正のスカラー倍である理由を説明せよ。

(b) \( A \) が線形独立な2つの非負固有ベクトルをもつなら、\( A \) が既約でないことを説明せよ。

8.4.P16

\( A \in M_n \) を非負行列とする。

(a) ある多項式 \( p(t) \) が存在して、その \( p(A) \) のすべての成分が非零であることと、\( A \) が既約であることが同値であることを示せ。

(b) \( \deg(p) \le d \) かつ \( p(A) \) のすべての成分が非零であるとき、\( (I + A)^d \gt 0 \) が成り立つ理由を説明せよ。

8.4.P17　

\( A \in M_n \) を非負行列とする。

最小二乗の意味で \( A \) に最も近いランク1行列（最良ランク1近似）を求める問題を考える。すなわち、\( A A^T \) または \( A^T A \) が既約であるとき、次を満たす \( X \in M_n \) を求めよ：

\|A - X\|_2 = \min \{ \|A - Y\|_2 : Y \in M_n, \, \mathrm{rank}(Y) = 1 \}

このような \( X \) は非負で一意であり、次式で与えられることを示せ：

X = \rho(A A^T) v w^T

ここで \( v, w \in \mathbb{R}^n \) は、固有値 \( \rho(A A^T) \) に対応する \( A A^T \) および \( A^T A \) の正の単位固有ベクトルである。

8.4.P18　

次の各行列について、最良ランク1最小二乗近似を求めよ：

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

また、\( n \gt 1 \) のとき、単位行列 \( I \in M_n \) に対する最良ランク1最小二乗近似が一意でない理由を説明せよ。

8.4.P19　

(8.2.P9) のすべての主張が、より弱い仮定「\( A \) が既約かつ非負である」場合にも成り立つことを示せ。

8.4.P20　

\( n \ge 2 \) かつ \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。

(a) 任意の負の固有値が、\( A^2 \) において代数的および幾何的重複度がともに偶数である理由を説明せよ。

(b) 次の各行列の二乗を計算せよ：

\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -1 & -12 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & \cdots & 1 & n \\ -1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ -1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ -1 & -1 & \cdots & -1 & -n - 1 \end{bmatrix}

これらのうち、\( A^2 \le 0 \) かつ \( A^2 \ne 0 \) で、いくつかの要素が 0 である例を示すものはどれか。

さらに、\( A^2 \) に 0 の要素を含まず正の要素が1つしかない例を示すもの（およびその \( n \) ）を特定せよ。

(d) \( n \gt 2 \) かつ \( A^2 \) の要素のうち少なくとも \( n^2 - n + 2 \) 個が負であるとき、\( A^2 \) が少なくとも1つの正の要素をもつ理由を説明せよ。

以下の問題群では、非負行列および既約行列に関するペロン–フロベニウスの定理の性質を確認し、固有値・固有ベクトル・随伴行列・トレース極限などの概念を応用していく。

問題 8.4.P21

\( A \in M_n \) が既約かつ非負であるとする。

(a) 非負の零でないベクトル \( x \) と正のスカラー \( \alpha \) が存在して \( Ax \le \alpha x \) を満たすとき、\( x \) が正であることを示せ。

(b) (a)より、任意の非負な固有ベクトルが正であり、ペロンベクトルの正の定数倍であることを導け。

問題 8.4.P22

単位ベクトル \( x_1, \ldots, x_{n+2} \in \mathbb{R}^n \) が与えられ、それらのグラム行列を \( G = [x_i^T x_j] \in M_{n+2}(\mathbb{R}) \) とする。

(a) \( I - G \) が非負であるなら、それ（および \( G \)）が可約であることを示せ。

(b) 任意の2つのベクトルのなす角が \( \pi/2 \) より大きいようなベクトルは、最大でも \( n+1 \) 個しか存在しないことを説明せよ。

問題 8.4.P23

\( A \in M_n \) を既約かつ非負とし、右ペロンベクトルを \( x \)、左ペロンベクトルを \( y \) とする。このとき、随伴行列 \( \operatorname{adj}(\rho(A)I - A) \) がランク1の正の行列 \( xy^T \) の正の定数倍であることを示せ。

問題 8.4.P24

\( A \in M_n \) を非負行列で \( \rho(A) > 0 \) とする。もし \( \lambda \) が \( A \) の最大モジュラス固有値ならば、(8.3.6)および(8.4.6)を用いて \( \lambda / \rho(A) = e^{i\theta} \) が1の冪根であり、各 \( p = 0, 1, \ldots, k - 1 \) に対して \( e^{ip\theta}\rho(A) \) が \( A \) の固有値であることを示せ。

さらに、これらが必ずしも唯一または単純な固有値でない例を挙げよ。

問題 8.4.P25

行列 \( A_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) は、(8.2.P13)の結果が非正行列には必ずしも成り立たないことを示す。
\(\lim_{m \to \infty} (\operatorname{tr} A_1^m)^{1/m}\) は存在しないが、\(\limsup_{m \to \infty} (\operatorname{tr} A_1^m)^{1/m} = 1 = \rho(A_1)\) である。
以下の手順を示し、この極限が任意の非負行列 \( A \) に対して成り立つことを確認せよ。

(a) もし \( \rho(A) = 0 \) なら、\(\lim_{m \to \infty} (\operatorname{tr} A^m)^{1/m} = \rho(A)\) であることを示せ。

(b) \( \rho(A) > 0 \) の場合、固有値を \( \lambda_i \)、特異値を \( \sigma_i \) とするとき、

\operatorname{tr}(A^m) = \left|\sum_{i=1}^n \lambda_i(A^m)\right| \le \left|\sum_{i=1}^n \sigma_i(A^m)\right| = \|A^m\|_{\text{tr}}

ここで \(\|\cdot\|_{\text{tr}}\) はトレースノルムである。したがって、

\limsup_{m \to \infty} (\operatorname{tr} A^m)^{1/m} \le \limsup_{m \to \infty} \|A^m\|_{\text{tr}}^{1/m} = \rho(A)

(c) \( A \) の既約正規形 (8.3.6) を考え、対角ブロックのうち \(\rho(A_i) = \rho(A)\) となるブロックを \( A_{i_1}, \ldots, A_{i_g} \) とする。各 \( A_{i_\ell} \) に対し、モジュラス \(\rho(A)\) の固有値が \( k_\ell \) 個存在するならば、 (8.4.6) より \(\rho(A)^{p k_\ell}\) が \( A_{i_\ell}^{p k_\ell} \) の固有値であり、他の固有値はそれより小さいモジュラスを持つ。したがって、

\operatorname{tr}(A_{i_\ell}^{p k_\ell}) = \rho(A)^{p k_\ell} (k_\ell + o(1)) \quad (p \to \infty)

これを利用して、正整数列 \( m_j \to \infty \) を構成し、

\operatorname{tr}(A_{i_1}^{m_j}) + \cdots + \operatorname{tr}(A_{i_g}^{m_j}) = (k_1 + \cdots + k_g + o(1)) \rho(A)^{m_j}

(d) よって、 \(\operatorname{tr}(A^{m_j}) \ge (k_1 + \cdots + k_g + o(1)) \rho(A)^{m_j}\) である。

(e) 任意の \( \varepsilon \in (0, 1/2) \) に対し、

\limsup_{m \to \infty} (\operatorname{tr} A^m)^{1/m} \ge \lim_{m \to \infty} (k_1 + \cdots + k_g - \varepsilon)^{1/m} \rho(A)

したがって最終的に次が成り立つ。

\limsup_{m \to \infty} (\operatorname{tr} A^m)^{1/m} = \rho(A) \quad \text{(8.4.9)}

問題 8.4.P26

\( A \in M_n \) を非負行列とし、\( x = [x_i], y = [y_i] \) をそれぞれ右・左ペロンベクトルとする。すなわち、 \( Ax = \rho(A)x \)、\( y^T A = \rho(A) y^T \) を満たす。次を示せ。

\( A \) が既約であることと、主小行列式がすべて非零であること、または \(\operatorname{adj}(\rho(A)I - A) = cxy^T > 0\) であることが同値である。

(a) \( A \) が既約ならば、(8.4.4) より \( \rho(A) \) は単純固有値であり、\( x, y \) は正である。したがって \(\operatorname{adj}(\rho(A)I - A) = cxy^T\) は非負かつ非零であり、主対角成分 \( cx_1y_1, \ldots, cx_ny_n \) はすべて非零で正である。よって \( c > 0 \) であり、\(\operatorname{adj}(\rho(A)I - A) > 0\) が成り立つ。

(b) 逆に、主小行列式がすべて非零ならば、\(\rho(A)\) は単純固有値であり、 \(\operatorname{adj}(\rho(A)I - A) = cxy^T\) は正の主対角を持つ。
したがって \( x, y, c \) はすべて正であり、問題 (8.3.P7) より \( A \) は既約である。