4.4.P18
4.4.問題18
\(A \in M_n\) が共役正規であることと、実正規行列にユニタリ合同であることが同値である理由を説明せよ。
ヒント
共役正規行列とは \(AA^{*}=\overline{A^{*}A}\) を満たす行列である。ポイントは、ユニタリ合同 \(A=UBU^{\top}\) によってこの条件がどのように変化するかを確認することである。実行列 \(B\) では \(\overline{B^{*}B}=B^{\top}B\) となるため、共役正規性は \(BB^{\top}=B^{\top}B\)、すなわち実正規性に一致する。
したがって、共役正規行列が実正規行列にユニタリ合同であることを示せば、両者の同値性が得られる。ここでは共役正規行列のユニタリ合同標準形が実正規行列になることを用いる。
解答例
まず、\(A\in M_n\) が共役正規であるとは、
AA^{*}=\overline{A^{*}A}
が成り立つことである。ここで \(A^{*}=\overline{A}^{\top}\) である。
ユニタリ行列 \(U\) によるユニタリ合同変換
A=UBU^{\top}
を考える。このとき \(U^{*}U=I\) および \(U^{\top}\overline{U}=I\) であるから、
AA^{*}
=
UBU^{\top}\overline{U}B^{*}U^{*}
=
UBB^{*}U^{*}
となる。一方、
\overline{A^{*}A}
=
\overline{\overline{U}B^{*}U^{*}UBU^{\top}}
=
U\overline{B^{*}B}U^{*}
である。したがって、
AA^{*}=\overline{A^{*}A}
\quad\Longleftrightarrow\quad
BB^{*}=\overline{B^{*}B}
となる。つまり、共役正規性はユニタリ合同によって不変である。
ここで \(B\) が実行列である場合を考える。実行列では \(B^{*}=B^{\top}\) かつ \(\overline{B}=B\) なので、
BB^{*}=\overline{B^{*}B}
\quad\Longleftrightarrow\quad
BB^{\top}=B^{\top}B
となる。右辺の条件は、\(B\) が実正規行列であることの定義である。したがって、実行列については、共役正規であることと実正規であることが同値である。
次に、共役正規行列 \(A\) に対するユニタリ合同標準形を考える。共役正規行列に対する標準形定理より、あるユニタリ行列 \(U\) が存在して、
B=U^{*}A\overline{U}
を実行列とすることができる。これは \(U^{\top}=\overline{U}^{*}\) を用いれば、
A=UBU^{\top}
と書ける。したがって \(A\) は実行列 \(B\) にユニタリ合同である。
さらに \(A\) が共役正規であることから、ユニタリ合同による不変性によって \(B\) も共役正規である。\(B\) は実行列なので、先ほど示した結果から \(B\) は実正規行列である。よって、
A\text{ が共役正規}
\quad\Longrightarrow\quad
A\text{ は実正規行列にユニタリ合同}
が得られる。
逆に、\(A\) が実正規行列 \(B\) にユニタリ合同であるとする。すなわち、あるユニタリ行列 \(U\) に対して \(A=UBU^{\top}\) とする。\(B\) は実正規行列なので、
BB^{\top}=B^{\top}B
が成り立つ。また \(B\) は実行列であるから、
BB^{*}
=
BB^{\top}
=
B^{\top}B
=
\overline{B^{*}B}
であり、\(B\) は共役正規である。共役正規性はユニタリ合同で不変なので、\(A\) も共役正規である。したがって、
A\text{ は実正規行列にユニタリ合同}
\quad\Longrightarrow\quad
A\text{ は共役正規}
が得られる。
以上をまとめると、共役正規行列については、そのユニタリ合同標準形を実行列として選ぶことができ、その標準形は実正規行列になる。逆に、実正規行列は共役正規であり、その性質はユニタリ合同で保存される。したがって、
A\text{ が共役正規}
\quad\Longleftrightarrow\quad
A\text{ は実正規行列にユニタリ合同}
が成り立つ。
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