4.1.P11
4.1.問題11
\(A, B \in M_n\) がエルミートのとき、なぜ \(AB - BA\) が歪エルミートとなるかを説明し、(4.1.P10) から \(\mathrm{tr}(AB)^2 \le \mathrm{tr}(A^2B^2)\) が成り立ち、等号成立は \(AB = BA\) のときに限ることを導け。
ヒント
エルミート行列では共役転置に関して \( (AB)^* = B^*A^* \) を用いる。まず \(AB-BA\) の共役転置を計算し、歪エルミート性を確認する。その後、\( \mathrm{tr}(X^*X) \ge 0 \) を用いて、\(X=AB-BA\) とおくことで跡の不等式を導く。
解答例
まず、\(A,B\) がエルミート、すなわち \(A^* = A,\; B^* = B\) とする。このとき
(AB-BA)^* = (AB)^* - (BA)^* = B^*A^* - A^*B^* = BA - AB = -(AB-BA)
したがって \(AB-BA\) は歪エルミートである。
次に、任意の行列 \(X\) に対して \( \mathrm{tr}(X^*X) \ge 0 \) が成り立つことを用いる。ここで \(X = AB-BA\) とおくと、
\mathrm{tr}((AB-BA)^*(AB-BA)) \ge 0
左辺を展開する。
\mathrm{tr}((BA-AB)(AB-BA))
= \mathrm{tr}(BAAB - BABA - ABAB + ABBA)
跡の巡回性 \( \mathrm{tr}(XYZ) = \mathrm{tr}(ZXY) \) を用いて整理すると、
\mathrm{tr}(A^2B^2) - \mathrm{tr}(ABAB) - \mathrm{tr}(ABAB) + \mathrm{tr}(A^2B^2)
= 2\mathrm{tr}(A^2B^2) - 2\mathrm{tr}((AB)^2)
よって
2\mathrm{tr}(A^2B^2) - 2\mathrm{tr}((AB)^2) \ge 0
すなわち
\mathrm{tr}((AB)^2) \le \mathrm{tr}(A^2B^2)
が得られる。
さらに、等号が成り立つのは
\mathrm{tr}((AB-BA)^*(AB-BA)) = 0
すなわち \(AB-BA=0\)、すなわち \(AB=BA\) のときに限る。
[行列解析4.1]エルミート行列の性質と特徴 (Properties and characterizations of Hermitian matrices)
4.1.1 定義（エルミート行列）4.1.2 定理（テプリッツ分解）4.1.3 定理4.1.4 定理4.1.5 定理4.1.6 定理4.1.7 定理4.1.8 定理4.1.9 定義（正定値・半正定値・不定値）4.1.10 定理4.1.11 ...
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