3.3.P13
3.3 問題13
任意の \(n\) 個の複素数は \(n\times n\) コンパニオン行列の固有値になり得ることを説明せよ。しかしコンパニオン行列の特異値には強い制約がある。
A =
\begin{bmatrix}
0 & & & & -a_0 \\
1 & 0 & & & -a_1 \\
& 1 & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\
0 & & & 1 & -a_{n-1}
\end{bmatrix} \in M_n
行列 (3.3.12) をブロック表示
A = \begin{bmatrix} 0 & -a_0 \\ I_{n-1} & \xi^T \end{bmatrix},
\quad \xi = [-a_1,\ldots,-a_{n-1}]^T \in \mathbb{C}^{n-1}
と表し、\(A^*A\) が次の形であることを確認せよ：
A^*A = \begin{bmatrix} I_{n-1} & \xi \\ \xi^* & s \end{bmatrix},
\quad s = |a_0|^2 + \|\xi\|_2^2
(a)
次を示せ：ここで \( \sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n \) は \(A\) の特異値とする。
\sigma_2=\cdots=\sigma_{n-1}=1,\quad \\
\sigma_1^2,\ \sigma_n^2 = \tfrac{1}{2}\Big( s+1 \pm \sqrt{(s+1)^2 - 4|a_0|^2}\ \Big)別の方法として補間性（interlacing）を用いて \(A^*A\) の固有値 1 の重複度が少なくとも \(n-2\) であることを示し、残る2つの固有値をトレースと行列式から決定する方法がある。
(b)
次を検証せよ：\(\sigma_1\sigma_n=|a_0|\)、\(\sigma_1^2+\sigma_n^2=s+1\)、
および \(\sigma_1\ge 1\ge \sigma_n\)。
ここで \(\xi\neq 0\) のときは両不等号は厳しい。
(c)
式 (3.3.16) はコンパニオン行列の特異値がその成分の絶対値のみに依存することを示している。
適当な対角ユニタリ同値変換を施してこの事を別の方法で示せ。
問題 5.6.P28 と 5.6.P31 は (3.3.16) を用いて多項式の根に対する上界を与える。
ヒント
固有値については任意の多項式 \( p(t) \) を構成できることを用いる。特異値については \( A^*A \) を計算し、その固有値を調べることで求められる。特にブロック行列の形を利用すると計算が簡単になる。
解答例
まず任意の複素数 \( \lambda_1,\ldots,\lambda_n \) に対して、多項式 \( p(t)=\prod_{i=1}^n (t-\lambda_i) \) を考える。このとき、そのコンパニオン行列は特性多項式が \( p(t) \) であるから、固有値はちょうど \( \lambda_1,\ldots,\lambda_n \) となる。
次に特異値について考える。行列 \( A=\begin{bmatrix} 0 & -a_0 \\ I_{n-1} & \xi^{\top} \end{bmatrix} \) に対して、
A^*A =
\begin{bmatrix}
I_{n-1} & \xi \\
\xi^* & s
\end{bmatrix},
\quad s = |a_0|^2 + \|\xi\|_2^2
を得る。この行列は階数2の摂動をもつ単位行列型であるため、固有値1は少なくとも \( n-2 \) 重に現れる。
残りの2つの固有値を \( \lambda_1,\lambda_n \) とすると、トレースと行列式より
\lambda_1 + \lambda_n = s + 1, \quad \lambda_1 \lambda_n = |a_0|^2
が成り立つ。よって2次方程式を解いて、
\lambda_{1,n}
= \tfrac{1}{2}\Big( s+1 \pm \sqrt{(s+1)^2 - 4|a_0|^2} \Big)
となる。したがって特異値は \( \sigma_2=\cdots=\sigma_{n-1}=1 \)、 および
\sigma_1^2,\ \sigma_n^2
= \tfrac{1}{2}\Big( s+1 \pm \sqrt{(s+1)^2 - 4|a_0|^2} \Big)
である。
(b) 上式より \( \sigma_1^2 \sigma_n^2 = |a_0|^2 \) であるから \( \sigma_1 \sigma_n = |a_0| \) が従う。また和についても \( \sigma_1^2 + \sigma_n^2 = s+1 \) が成り立つ。
さらに固有値の大小関係より \( \sigma_1 \ge 1 \ge \sigma_n \) が成立する。\( \xi \neq 0 \) のときは重複度が減るため不等号は厳しくなる。
(c) 対角ユニタリ行列 \( D=\mathrm{diag}(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n}) \) を用いて \( D^* A D \) を考えると、各成分の位相は吸収され、絶対値のみが残る形に変換できる。
特異値はユニタリ同値変換で不変であるから、コンパニオン行列の特異値は係数 \( a_i \) の絶対値のみに依存することが従う。
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