3.2.P12
3.2問題12
\( A \) のジョルダン標準形に2つ以上の非正則ジョルダンブロックが含まれる場合、\(\mathrm{adj}\, A = 0\) となる理由を説明しなさい。
ヒント
余因子行列には \( A\,\mathrm{adj}(A)=\det(A)I \) が成り立つ。行列 \(A\) が非正則であるときは \( \det(A)=0 \) となるため \( A\,\mathrm{adj}(A)=0 \) である。
さらに一般に、\( \mathrm{rank}\,A \le n-2 \) のときはすべての \( (n-1)\times(n-1) \) 小行列式が0になるので \( \mathrm{adj}(A)=0 \) になる。したがって、ジョルダン標準形に零固有値のジョルダンブロックが2個以上ある場合には \( \mathrm{rank}\,A \le n-2 \) となることを確認すればよい。
解答例
余因子行列には次の基本公式がある。
A\,\mathrm{adj}(A)=\det(A)I
いま \(A\) のジョルダン標準形に零固有値のジョルダンブロックが2個以上含まれているとする。
このとき零固有値の幾何重複度は少なくとも2であるため \( \dim\ker(A) \ge 2 \) となる。したがって
\mathrm{rank}(A)=n-\dim\ker(A)\le n-2
が従う。
一般に \( \mathrm{rank}(A)\le n-2 \) のときは、すべての \( (n-1)\times(n-1) \) 小行列式が0になる。余因子行列の各成分はこれらの小行列式であるから
\mathrm{adj}(A)=0
が従う。
したがって、\(A\) のジョルダン標準形に2つ以上の非正則ジョルダンブロック（固有値0のジョルダンブロック）が含まれる場合には \( \mathrm{adj}(A)=0 \) となる。
行列解析の総本山
総本山の目次📚
記号の意味🔎
コメント