saikorodeka

4.1.問題164.1.P16任意の \(s, t \in \mathbb{R}\) に対して、\(\max\{|s|, |t|\} = \frac{1}{2}(|s+t| + |s-t|)\) であることを示せ。任意の \(A \in M...

4.1.問題154.1.P15\(A \in M_n\) がエルミート行列に相似であることは、対角化可能であり、固有値が実数であることと同値である理由を説明せよ。追加の同値条件については (7.6.P1) を参照。

4.1.問題144.1.P14ある \(\theta \in \mathbb{R}\) に対して \(A = e^{i\theta} A^*\) が成り立つことと、\(e^{-i\theta/2} A\) がエルミートであることは同値である...

4.1.問題134.1.P13\(A \in M_n\) が非零であるとする。(a) \(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^*A}\) が成り立ち、等...

4.1.問題124.1.P12\(A \in M_n\) が与えられたとき、\(A\) がエルミートならば、\(\mathrm{rank}\,A\) は非零固有値の数に等しいことを説明せよ。ただし、非エルミート行列では必ずしも成り立たない。...

4.1.問題114.1.P11\(A, B \in M_n\) がエルミートのとき、なぜ \(AB - BA\) が歪エルミートとなるかを説明し、(4.1.P10) から \(\mathrm{tr}(AB)^2 \le \mathrm{tr...

4.1.問題104.1.P10\(A \in M_n\) がエルミートであることは \(iA\) が歪エルミートであることと同値であることを示せ。歪エルミート行列 \(B \in M_n\) について、(a) \(B\) の固有値は純虚数で...

4.1.問題94.1.P9\(A \in M_n\) は生成する半双線形形式の絶対値によってほぼ決定されることを示せ。すなわち、\(A, B \in M_n\) が与えられ、すべての \(x, y \in \mathbb{C}^n\) につ...

4.1.問題84.1.P8行列 \(A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) を考え、すべての \(x \in \mathbb{C}^2\) について \(|x^*Ax| = |x^*A...

4.1.問題74.1.P7\(A, B \in M_n(F)\) が与えられ、\(n \ge 2\)、\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) のとき、すべての \(x \in F^n\) に対して \(x...

4.1.問題64.1.P6\(A = , B = \in M_n\) が与えられたとき、(a) すべての \(x \in \mathbb{C}^n\) について \(x^*Ax = x^*Bx\) ならば \(A = B\) であることを示...

4.1.問題54.1.P5行列がすべて実固有値をもつことを、エルミート行列に相似であることから示せる場合がある。\(A = \in M_n(R)\) を三重対角行列とする。すべての \(i = 1, 2, \dots, n-1\) について...

4.1.問題44.1.P4(4.1.1) の後の1–9の次の主張を確認せよ。1. \(A + A^*\)、\(AA^*\)、および \(A^*A\) はエルミート行列である。2. \(A\) がエルミートであれば、全ての \(k = 1, ...

4.1.問題34.1.P3\(A, B \in M_n\) がエルミートのとき、A と B が相似であることとユニタリ相似であることは同値であることを示せ。

4.1.問題24.1.P2\(A \in M_n\) がエルミートで \(S \in M_n\) のとき、\(SAS^*\) がエルミートであることを示せ。非特異な場合の \(SAS^{-1}\) はどうか？

4.1.問題14.1.P1エルミート行列の主小行列はすべてエルミートであることを示せ。歪エルミート行列や正規行列でも同様か？ 証明するか反例を示せ。

4.1.13命題 4.1.13. 行列 \(A \in M_n\) がエルミートであるとする。このとき、\(A = A^+ - A^-\) が成り立つ。各行列 \(A^+\) と \(A^-\) は半正定値であり、また \(A^+\) と ...

4.1.12定義（\(\lambda_i^+ \)、\(\lambda_i^-\)）定義 4.1.12.（\(\lambda_i^+ \)、\(\lambda_i^-\)）行列 \(A \in M_n\) をエルミート行列とし、固有値を \...

4.1.11定義定義 4.1.11. 対称行列 \(A \in M_n(\mathbb{R})\) は、すべての非零ベクトル \(x \in \mathbb{R}^n\) に対して \(x^T A x \ge 0\) であれば正定値（pos...

4.1.10定理定理 4.1.10. \(A \in M_n(\mathbb{R})\) が対称行列であるとする。このとき、すべての非零ベクトル \(x \in \mathbb{R}^n\) に対して \(x^T A x > 0\) （それ...

4.1.9定義 4.1.9. 行列 \(A \in M_n\) が正定値であるとは、すべての非零ベクトル \(x \in C^n\) に対して \(x^* A x\) が実かつ正であることをいう。半正定値であるとは、すべての非零ベクトル \...

4.1.8定理定理 4.1.8. 与えられた行列 \(A \in M_n\) に対して、すべての非零ベクトル \(x \in C^n\) について \(x^* A x\) が実かつ正（それぞれ非負）であることと、\(A\) がエルミートであ...

4.1.7定理定理 4.1.7. 与えられた行列 \(A \in M_n\) に対して、以下の記述は同値である：(a) \(A\) は実行列に相似である。(b) \(A\) は \(A^*\) に相似である。(c) \(A\) はエルミート...

4.1.6定理定理 4.1.6. 与えられた非空のエルミート行列族 \(F\) に対して、すべての \(A \in F\) に対して \(U A U^*\) が対角行列となるユニタリ行列 \(U\) が存在することと、すべての \(A, B...

4.1.5定理定理 4.1.5. 行列 \(A \in M_n\) はエルミートであることと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) と実対角行列 \(\Lambda \in M_n\) が存在して \(A = U \Lambda U^*...

4.1.4定理定理 4.1.4. \(A = \in M_n\) が与えられたとする。このとき、A がエルミート行列であることと、次の条件の少なくとも一つを満たすことは同値である：(a) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\)...

4.1.3定理 4.1.3. \(A \in M_n\) がエルミート行列であるとする。このとき：(a) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して、\(x^* A x\) は実数である。(b) \(A\) の固有値はす...

4.1.2定理 4.1.2（テプリッツ分解）。任意の行列 \(A \in M_n\) は、一意的に次の形に分解できる：A = H + i Kここで、\(H\) と \(K\) はともにエルミート行列である。また、一意的に次の形にも分解できる...

4.1.1定義 4.1.1. 行列 \(A = \in M_n\) は、\(A = A^*\) であればエルミート行列（Hermitian）と呼び、\(A = -A^*\) であれば歪エルミート行列（skew Hermitian）と呼ぶ。\...