多項式の零点と行列の固有値の連続性
多項式の零点がその係数に対して連続的に依存するという事実は重要であり、通常は複素解析を用いて証明される。この性質は、次数 \( n \ge 1 \) の複素係数多項式において、その \( n \) 個の零点が係数の連続関数として変化することを意味する。
複素ベクトル空間 \( \mathbb{C}^n \) において、\( f(z) = [f_1(z), \dots, f_m(z)]^T \) と定義する。ただし、各成分 \( f_i : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C} \) は \( i = 1, \dots, m \) に対して定義されるものとする。関数 \( f : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m \) が点 \( z \) で連続であるとは、すべての \( i \) について \( f_i \) が \( z \) で連続であることを意味する。
関数 \( f_i : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C} \) が点 \( z \) で連続であるとは、ベクトルノルム \( \| \cdot \| \) に対して、任意の \( \varepsilon > 0 \) に対し、ある \( \delta > 0 \) が存在し、もし \( \| z - \zeta \| \lt \delta \) ならば \( |f_i(z) - f_i(\zeta)| \lt \varepsilon \) となることである。
多項式の零点がその係数に連続的に依存することを表すために、次数 \( n \) のモニック多項式の \( n \) 個の係数（先頭係数 1 を除く）を、その多項式の \( n \) 個の零点へ対応させる写像 \( f : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n \) の連続性を考えたくなるかもしれない。しかし、問題がある。零点に自然な順序づけが存在しないため、このような写像を自然に定義する方法が存在しないのである。以下の定理は、多項式の係数に対する零点の連続的依存を数量的に表すものである。
定理 D1
\( n \ge 1 \) とし、複素係数多項式
p(t) = t^n + a_1 t^{n-1} + \cdots + a_{n-1}t + a_n,
および
q(t) = t^n + b_1 t^{n-1} + \cdots + b_{n-1}t + b_n
を考える。\( p \) の零点を順序付きに \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \)、\( q \) の零点を \( \mu_1, \dots, \mu_n \) とする（重複度を含めて数える）。ここで
\gamma = 2 \max_{1 \le k \le n} \{ |a_k|^{1/k}, |b_k|^{1/k} \}
と定める。このとき、集合 \(\{1, \dots, n\}\) のある置換 \(\tau\) が存在して、次の不等式が成り立つ。
\max_{1 \le j \le n} |\lambda_j - \mu_{\tau(j)}|
\le \frac{2^{2n-1}}{n}
\left( \sum_{k=1}^{n} |a_k - b_k| \gamma^{n-k} \right)^{1/n}
この定理は、多項式の係数がわずかに変化したときに、その零点がどの程度変化するかを定量的に示している。
定理 D2
次に、行列の固有値の連続性に関する結果を示す。\( A, B \in M_n \) とし、\( A \) の固有値を \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \)、\( B \) の固有値を \( \mu_1, \dots, \mu_n \) とする（いずれも重複度を含めて数える）。このとき、ある置換 \(\tau\) が存在して次が成り立つ。
\max_{1 \le j \le n} |\lambda_j - \mu_{\tau(j)}|
\le \frac{2^{2n-1}}{n}
\left( \|A\|_2 + \|B\|_2 \right)^{\frac{n-1}{n}}
\|A - B\|^{1/n}
この結果は、行列の固有値がその成分に連続的に依存することを保証するものであり、行列の摂動解析における基礎的な定理である。
参考文献：
R. Bhatia, L. Elsner, G. Krause, “Bounds on the variation of the roots of a polynomial and the eigenvalues of a matrix,” Linear Algebra and Its Applications, 142 (1990), 195–209.
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