8.7.5 二重劣確率行列と二重確率行列の関係
補題 8.7.5.
\( A \in M_n \) が二重劣確率行列であるとする。このとき、ある二重確率行列 \( S \in M_n \) が存在して \( A \le S \) が成り立つ。
証明.
任意の二重劣確率行列 \( S \in M_n \) に対し、\( N(S) \) を \( S e \) および \( S^T e \) の成分のうち1より小さいものの数、すなわち行和および列和が1未満である成分の個数と定義する。
\( A \in M_n \) が二重劣確率行列であるとき、\( A \) が二重確率行列であるのは \( N(A) = 0 \) の場合に限る。したがって、もし \( N(A) \gt 0 \) であり、常に二重劣確率行列 \( C \in M_n \) が存在して \( A \le C \) かつ \( N(C) \lt N(A) \) を満たすことを示せれば、有限回の帰納法により補題の主張が従う。
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を二重劣確率行列とし、\( N(A) \gt 0 \) と仮定する。行和の総和は列和の総和に等しいため、行和が1未満の行（たとえば第 \( i \) 行）と、列和が1未満の列（たとえば第 \( j \) 列）が存在する。このとき、成分 \( a_{ij} \) を増加させて、第 \( i \) 行の行和または第 \( j \) 列の列和（あるいはその両方）がちょうど1となるまで調整する。この操作によって得られる行列を \( C \) とする。
このとき、\( C \) は二重劣確率行列であり、\( A \le C \) かつ \( N(C) \lt N(A) \) が成り立つ。したがって、有限回の操作により、最終的に \( A \) を上から抑える二重確率行列 \( S \) が得られる。
この結果を用いて、次の節では（8.7.4）およびこの補題からフォン・ノイマンのトレース定理（7.4.1.1）の平方行列の場合を導く。
練習問題.
\( U = [u_{ij}], \, V = [v_{ij}] \in M_n \) をユニタリ行列とし、\( S = [|u_{ij} v_{ji}|] \) とおく。このとき、\( S \) が二重劣確率行列であることを示せ。
ヒント：コーシー・シュワルツの不等式を用いること。
行列解析の総本山
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