[行列解析8.5.P16]

8.5.問題16
- 8.5.P16
行列解析の総本山

8.5.問題16

8.5.P16

非負行列 \( A \in M_n \) のペロンベクトルとスペクトル半径を求める1つの方法として、「べき乗法（power method）」がある。次の手順を考える。

x^{(0)} \text{ は任意の正ベクトル}, \quad \sum_{i=1}^{n} x^{(0)}_i = 1

y^{(m+1)} = A x^{(m)} \quad (m = 0, 1, 2, \ldots)

x^{(m+1)} = \frac{y^{(m+1)}}{\sum_{i=1}^{n} y^{(m+1)}_i}

\( A \) が原始行列である場合、ベクトル列 \( x^{(m)} \) は \( A \) の右ペロンベクトルに収束することを示せ。また、数列 \( \sum_{i=1}^{n} y^{(m+1)}_i \) は \( A \) のペロン根に収束することを示せ。収束の速さについても考察せよ。また、原始性の仮定が本当に必要かどうかを論ぜよ。