8.5.8 系（ヴィーラントの定理）
\( A \in M_n \) が非負行列であるとする。このとき、次が成り立つ：
\( A \) が原始的であるための必要十分条件は、
A^{n^2 - 2n + 2} \gt 0
証明
あるべき乗 \( A^k \) が正行列であれば、\( A \) は原始的である。
したがって、ここでは逆の含意のみを示せばよい。\( n = 1 \) の場合は自明であるため、\( n \gt 1 \) と仮定する。
もし \( A \) が原始的であるならば、\( A \) は既約であり、かつ \( \Gamma(A) \)（\( A \) に対応する有向グラフ）には閉路が存在する。もし \( \Gamma(A) \) における最短閉路の長さが \( n \) であるならば、すべての閉路の長さは \( n \) の倍数であり、式 (8.5.3) によって \( A \) は原始的ではあり得ないことがわかる。
したがって、最短閉路の長さ \( s \) は \( n - 1 \) 以下である。よって定理 (8.5.7) より、
\gamma(A) \le n + s(n - 2)
が成り立つ。さらに \( s \le n - 1 \) なので、
\gamma(A) \le n + (n - 1)(n - 2) = n^2 - 2n + 2
したがって、\( A^{n^2 - 2n + 2} \gt 0 \) が成り立つ。∎
ヴィーラント（H. Wielandt）は、主対角成分がすべて 0 である行列に対して、上記の上限 \( \gamma(A) \le n^2 - 2n + 2 \) が最良（鋭い）であることを示す具体例（例 (8.5.P4)）を与えた。
また、もし \( A \) の主対角成分がすべて正であるならば、\( A \) が原始的であることと
A^{n - 1} \gt 0
であることは同値であることが知られている。
次の結果（Holladay と Varga による）は、定理 (8.5.7) の証明で用いた考え方を応用し、主対角成分のうち一部（ただしすべてではないかもしれない）が正である場合の原始性指数に対する上限を与えるものである。
行列解析の総本山
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