8.4.7 系：最大固有値を複数もつ非負行列の構造
\( A \in M_n \) が既約で非負行列であるとする。
もし \( A \) が最大絶対値をもつ固有値を \( k \gt 1 \) 個もつならば、\( A \) のすべての主対角成分は 0 である。
さらに、\( k \) で割り切れない正の整数 \( m \) に対して、\( A^m \) のすべての主対角成分も 0 である。
証明
\( \phi = 2\pi / k \) とする。
系 8.4.6(a) より、\( A \) は \( e^{i\phi}A \) に相似である。
したがって、任意の正の整数 \( m \) に対して、
A^m \text{ は } e^{im\phi}A \text{ に相似である。}
よって、トレースの性質から次が成り立つ。
\mathrm{tr}(A^m) = e^{im\phi}\mathrm{tr}(A^m)
このとき、\( e^{im\phi} \) が実数かつ正の値をとるのは、\( m \) が \( k \) の倍数である場合に限られる。
したがって、もし \( m \) が \( k \) で割り切れず、かつ \( A^m \) が正の主対角成分をもつと仮定すると、上式は矛盾を生じる。
よって、\( A^m \) の主対角成分はすべて 0 である。
演習
\( A \in M_n \) が既約で非負行列であるとする。
\( \rho(A) \) が唯一の最大絶対値をもつ固有値であることを保証するために、\( A \) の主対角成分の少なくとも1つが 0 でないことが十分条件となる理由を説明せよ。
次の行列を考察せよ。
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
この条件が必要条件ではないことを説明せよ。
また、2×2 の例を挙げることができるかを考えよ。
命題 (8.4.7) の記述はさらに精密にすることができる。
すなわち、もし \( A \in M_n \) が既約で非負行列であり、かつ最大絶対値をもつ固有値を \( k \gt 1 \) 個もつならば、ある順列行列 \( P \) が存在して次が成り立つ。
PAP^T =
\begin{bmatrix}
0 & A_{12} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & A_{23} & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & A_{k-1,k} \\
A_{k,1} & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{bmatrix}
ここで、主対角上の 0 ブロックはすべて正方行列である（詳細は Bapat と Raghavan (1997) の定理 1.8.3 を参照）。
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