8.4.6 系：最大絶対値をもつ固有値が複数存在する非負行列の性質
系 8.4.6.
\( A \in M_n \) が非負で既約な行列であり、最大絶対値をもつ固有値がちょうど \( k \) 個の異なる値をもつとする。
このとき次が成り立つ。
(a) 各 \( p = 0, 1, \ldots, k - 1 \) に対して、\( A \) は \( e^{2\pi i p / k}A \) に相似である。
(b) もし \( A \) のジョルダン標準形の一部として \( J_{m_1}(\lambda) \oplus \cdots \oplus J_{m_r}(\lambda) \) が含まれているならば、各 \( p \in \{1, \ldots, k - 1\} \) に対して \( J_{m_1}(e^{2\pi i p/k}\lambda) \oplus \cdots \oplus J_{m_r}(e^{2\pi i p/k}\lambda) \) もまたジョルダン標準形の直和成分として現れる。
(c) \( A \) の最大絶対値をもつ固有値は \( e^{2\pi i p/k}\rho(A) \)（\( p = 0, 1, \ldots, k - 1 \)）であり、それぞれの代数的重複度は 1 である。
証明.
\( k = 1 \) の場合は自明なので、\( k \ge 2 \) と仮定する。
\( A \) の最大絶対値をもつ異なる固有値を
\lambda_p = e^{i\phi_p}\rho(A), \quad p = 0, 1, \ldots, k - 1
とおく。このとき、\( 0 = \phi_0 \lt \phi_1 \lt \cdots \lt \phi_{k-1} \lt 2\pi \) である。集合 \( S = \{\phi_0 = 0, \phi_1, \ldots, \phi_{k-1}\} \) を考える。
\( A \) が実行列なので、その固有値は共役な対で現れる。
したがって、\( \phi_{k-1} = 2\pi - \phi_1, \phi_{k-2} = 2\pi - \phi_2 \) などが成り立ち、一般に各 \( \phi_p \in S \) に対して \( \phi_{k-p} \in S \) が存在し、次が成り立つ：
\phi_{k-p} + \phi_p = 0 \ (\text{mod } 2\pi)
前の定理を \( B = A \)、および任意の \( p = 0, 1, \ldots, k - 1 \) に対して \( \lambda = e^{i\phi_p}\rho(A) \) として適用すると、
A = D_p (e^{i\phi_p} A) D_p^{-1}
が得られる。したがって、\( A \) は任意の \( p \) に対して \( e^{i\phi_p}A \) に相似である。
よって、もし \( A \) のジョルダン標準形に \( J_{m_1}(\lambda) \oplus \cdots \oplus J_{m_r}(\lambda) \) が含まれていれば、同様に \( J_{m_1}(e^{i\phi_p}\lambda) \oplus \cdots \oplus J_{m_r}(e^{i\phi_p}\lambda) \) も含まれる。
これを、最大絶対値の固有値 \( \lambda = e^{i\phi_q}\rho(A) \) に対応する部分に適用し、\( p = k - q \) とおくと、
J_{m_1}(\rho(A)) \oplus \cdots \oplus J_{m_r}(\rho(A))
が \( A \) のジョルダン標準形の直和成分として現れる。式 (8.4.4(b)) により \( r = 1 \)、\( m_1 = 1 \) であるから、各最大絶対値の固有値は単純である。
また、\( A \) が \( e^{i\phi_p}A \) および \( e^{i\phi_q}A \) に相似であることから、任意の \( p, q \in \{0, 1, \ldots, k - 1\} \) に対して \( A \) は \( e^{i(\phi_p + \phi_q)}A \) にも相似である。
したがって、集合 \( S \) の任意の要素 \( \phi_p, \phi_q \) に対して、その和 \( \phi_p + \phi_q \ (\text{mod } 2\pi) \) も \( S \) に含まれる。
これを帰納的に繰り返すと、\( r\phi_1 = \phi_1 + \cdots + \phi_1 \ (\text{mod } 2\pi) \) がすべて有限集合 \( S \) に含まれることがわかる。
ところが、\( \phi_1, 2\phi_1, \ldots, (k+1)\phi_1 \) の \( k+1 \) 個の要素がすべて異なることはできないため、ある整数 \( r > s \ge 1 \) が存在して
r\phi_1 = s\phi_1 \ (\text{mod } 2\pi)
が成り立つ。これより、\( (r - s)\phi_1 = 0 \ (\text{mod } 2\pi) \)、すなわち \( e^{i(r-s)\phi_1} = 1 \) である。したがって、\( e^{i\phi_1} \) は単位根である。
最小の正の整数 \( p \) で \( e^{ip\phi_1} = 1 \) となるものをとる。
任意の \( \phi_m \in S \) に対して、区間 \([0, 2\pi)\) を \( p \) 個の部分区間 \([0, \phi_1), [\phi_1, 2\phi_1), \ldots, [(p-1)\phi_1, 2\pi)\) に分ける。
すると、ある \( q \)（\( 0 \le q \le p - 1 \)）が存在して \( q\phi_1 \le \phi_m \lt (q+1)\phi_1 \) が成り立つ。これより \( \phi_m - q\phi_1 = 0 \) でなければならない。
したがって、すべての \( \phi_m \) は \( \phi_1 \) の整数倍である。
もし \( p \lt k \) ならば、集合 \( \{0, \phi_1, 2\phi_1, \ldots\} \) に含まれる異なる要素は \( k \) 個未満となり、\( S \) の全要素を含むことができない。
したがって \( p = k \) であり、
\phi_m = \frac{2\pi m}{k}, \quad m = 0, 1, \ldots, k - 1
である。ゆえに、\( A \) の最大絶対値をもつ固有値は
\rho(A), \ e^{2\pi i / k}\rho(A), \ \ldots, \ e^{2\pi i (k-1)/k}\rho(A)
であることがわかる。
さらに、\( A \in M_n \) が既約で非負であり、最大絶対値をもつ固有値が \( k \) 個存在するとき、前の定理により、任意の \( r > 0 \) に対して円 \( \{ z \in \mathbb{C} : |z| = r \} \) 上に存在する固有値（重複度を含む）の個数は \( k \) の非負整数倍である。
したがって、\( k \) は \( A \) の非零固有値の個数を割り切る。
演習.
\( A \in M_n \) が非負行列であるとき、任意の \( m = 1, 2, \ldots \) に対して \( \mathrm{tr}(A^m) \ge 0 \) であることを示せ。
演習.
\( A \in M_3 \) が既約で非負であり、スペクトル半径 \( \rho(A) = 1 \) をもつとき、固有値が \( 1, i, -i \) となることはありうるか？
既約条件を外した場合はどうか？（ヒント：上の系を適用し、\( \mathrm{tr}(A^2) \) を考えよ。）
行列解析の総本山
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