8.2.9 ファンの定理とスペクトル半径による固有値包含領域
次に示すのは、行列の固有値がどの範囲に存在するかを評価する「ファン（Ky Fan）の定理」である。この定理は、ペロンの定理の結果を応用して導かれる。
定理 8.2.9（ファンの定理）
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) とする。
\( B = [b_{ij}] \in M_n \) が非負行列（すなわち \( b_{ij} \ge 0 \)）であり、すべての \( i \ne j \) に対して \( b_{ij} \ge |a_{ij}| \) が成り立つと仮定する。
このとき、行列 \( A \) のすべての固有値は、次の \( n \) 個の円の和集合の中に含まれる。
\bigcup_{i=1}^n \{ z \in \mathbb{C} : |z - a_{ii}| \le \rho(B) - b_{ii} \}
特に、すべての \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( |a_{ii}| \gt \rho(B) - b_{ii} \) が成り立つならば、行列 \( A \) は正則（非特異）である。
証明.
まず \( B \gt 0 \)（すべての成分が正）の場合を考える。
ペロンの定理（定理 8.2.8）より、正のベクトル \( x \) が存在して次が成り立つ：
Bx = \rho(B)x
したがって、各 \( i = 1, \ldots, n \) について次が得られる。
\sum_{j \ne i} |a_{ij}| x_j \le \sum_{j \ne i} b_{ij} x_j = \rho(B)x_i - b_{ii}x_i
よって、
\frac{1}{x_i} \sum_{j \ne i} |a_{ij}| x_j \le \rho(B) - b_{ii}, \quad i = 1, \ldots, n
したがって、結果は式 (6.1.6)（ゲルシュゴリン型の包含定理）に \( p_i = x_i \) を代入することで得られる。
次に、\( B \) のいくつかの成分が 0 の場合を考える。このとき、\( \epsilon \gt 0 \) に対して
B_\epsilon = B + \epsilon J_n
と定義する。ここで \( J_n \) はすべての成分が 1 の行列である。
このとき、すべての \( i \ne j \) に対して \( b_{ij} + \epsilon \gt |a_{ij}| \) となる。したがって、\( B_\epsilon \) に対応するファンの固有値包含領域は、次の形の \( n \) 個の円の和集合で与えられる。
\{ z \in \mathbb{C} : |z - a_{ii}| \le \rho(B_\epsilon) - (b_{ii} + \epsilon) \}
\(\epsilon \to 0\) とすると、\(\rho(B_\epsilon) - (b_{ii} + \epsilon) \to \rho(B) - b_{ii}\) となるので、非負行列 \( B \) の場合にも主張が成り立つ。
したがって、もしすべての \( i \) に対して \( |a_{ii}| \gt \rho(B) - b_{ii} \) であれば、\( z = 0 \) は集合 (8.2.9a) に含まれない。
したがって \( A \) は正則である。
次に、定理 8.2.8 の (f) によれば、次の極限が存在することが保証される：
(\rho(A)^{-1}A)^m \to xy^T \quad \text{as } m \to \infty
また、定理 (8.2.7) の証明および (5.6.13) に示された評価式により、収束速度に対する上限が次のように与えられる。
\| (\rho(A)^{-1}A)^m - xy^T \|_\infty
= \left\| S
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & (\rho(A)^{-1}B)^m
\end{bmatrix}
S^{-1} \right\|_\infty
\le C r^m
ここで \( r \) は開区間 \((|\lambda_{n-1}| / \rho(A), 1)\) に属する任意の実数であり、\( C \) は \( r \) と正の行列 \( A \) に依存する正の定数である。
また \( |\lambda_{n-1}| = \max\{|\lambda| : \lambda \in \sigma(A), \lambda \ne \rho(A)\} \) は「第2固有値（second largest eigenvalue）」と呼ばれる固有値の絶対値である。
さらに次の関係式が知られている：
\frac{|\lambda_{n-1}|}{\rho(A)} \le \frac{1 - \kappa^2}{1 + \kappa^2}
ここで
\( \kappa = \min\{ a_{ij} : i,j = 1, \ldots, n \} / \max\{ a_{ij} : i,j = 1, \ldots, n \} \) である。
この上限値は計算が容易であり、式 (8.2.10) における収束率パラメータ \( r \) として利用できる。
\| (\rho(A)^{-1}A)^m - xy^T \|_\infty
= \left\| S
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & (\rho(A)^{-1}B)^m
\end{bmatrix}
S^{-1} \right\|_\infty
\le C r^m
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