8.2.2 定理：正の行列に対する固有ベクトルの存在
\( A \in M_n \) が正の行列であるとき、次を満たす正のベクトル \( x \) および \( y \) が存在する：
A x = \rho(A)x \quad \text{かつ} \quad y^{T}A = \rho(A)y^{T}.
（証明） \( A \) の固有ペア \( \lambda, x \) が存在し、これが \( |\lambda| = \rho(A) \) を満たすとする。前の補題により、\( \rho(A), |x| \) もまた \( A \) の固有ペアであり、さらに \( |x| \gt 0 \) が成り立つ。ベクトル \( y \) に関する主張は、転置行列 \( A^{T} \) を考えることで導かれる。
（演習）\( A \in M_n \) かつ \( A \gt 0 \) のとき、式 (8.1.31) と上の定理を用いて、次の関係が成立する理由を説明せよ。
8.2.2a
\rho(A)
= \max_{x \gt 0} \min_i \frac{1}{x_i} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j
= \min_{x \gt 0} \max_i \frac{1}{x_i} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j
次に定理 (8.2.1) の結論を強化することで、正の行列において最大絶対値の固有値がそのスペクトル半径であることを示すことができる。
行列解析の総本山
総本山の目次📚
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
am-gm.com
2025.08.05
記号の意味
[行列解析9.0]主要な記号一覧
行列解析で使用している記号や用語の簡単な説明です。
am-gm.com
2025.11.09
コメント