[行列解析7.8.21]定理：ミンコフスキーの行列式不等式

7.8.21 ミンコフスキーの行列式不等式

\( A, B \in M_n \) を正定値行列とする。このとき次の不等式が成り立つ。

(7.8.22)

(\det A)^{1/n} + (\det B)^{1/n} \le (\det(A + B))^{1/n}

ただし、等号が成り立つのは \( A = cB \)（ただし \( c \gt 0 \)）のとき、かつそのときに限る。

定理 7.6.4 により、正則行列 \( S \in M_n \) が存在して、次のように書ける。

A = S I S^{*}, \quad B = S \Phi S^{*}

ここで、\( \Phi = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \) は正の対角行列である。このとき、式 (7.8.22) の主張は次の形に書き換えられる。

(\det S S^{*})^{1/n} + (\det S \Phi S^{*})^{1/n} = |\det S|^{2/n} + |\det S|^{2/n} (\det \Phi)^{1/n} = |\det S|^{2/n} (1 + (\det \Phi)^{1/n}) \le |\det S|^{2/n} (\det (I + \Phi))^{1/n} = (\det (S S^{*} + S \Phi S^{*}))^{1/n}

したがって、次を証明すればよい。

1 + (\det \Phi)^{1/n} \le (\det (I + \Phi))^{1/n}

すなわち、次の不等式を示す必要がある。

(7.8.23)

1 + \left( \prod_{i=1}^{n} \lambda_i \right)^{1/n} \le \left( \prod_{i=1}^{n} (1 + \lambda_i) \right)^{1/n}

この不等式は、ミンコフスキーの積不等式（式 (B10)）の特別な場合であり、等号が成り立つのは \( \lambda_1 = \cdots = \lambda_n = c \gt 0 \) のとき、すなわち \( A = cB \) の場合に限る。

\( A, B \in M_n \) を正定値行列とするとき、不等式 (7.8.22) から次を導け。

\det(A + B) \ge \det A + \det B

また、この結果を式 (7.4.P6) と比較せよ。

なお、不等式 (7.8.20) は、行列のサイズが 2 以上の場合に改良できる。\( n = 1 \) の場合、次の不等式

\mathrm{Re}\, z + |\mathrm{Im}\, z| \le |z|

は \( \mathrm{Im}\, z \ne 0 \) のとき成り立たない。