[行列解析7.8.16]定理：オッペンハイム＝シュールの不等式

7.8.18 定理（オッペンハイム＝シュールの不等式）

\( A = [a_{ij}], \, B = [b_{ij}] \in M_n \) を半正定値行列とする。
このとき、次の不等式が成り立つ。

(7.8.17)

\max \{ a_{11} \cdots a_{nn} \det B, \, b_{11} \cdots b_{nn} \det A \} \le \det (A \circ B)

さらに、

(7.8.18)

a_{11} \cdots a_{nn} \det B + b_{11} \cdots b_{nn} \det A \le \det (A \circ B) + \det (AB)

記法は補題 (7.8.15) に従う。まず (7.8.17) について考える。
\(n = 1\) の場合には明らかに成り立つため、次元 \(n \ge 2\) の場合について帰納法を用いる。\(n-1\) 以下の次元で (7.8.17) が成り立つと仮定する。

\(\tilde{A}\) が半正定値であるため、\(\tilde{A} \circ B\) も半正定値であり、

\begin{aligned} 0 \le \det(\tilde{A} \circ B) & = \det(A \circ B) - \det \begin{bmatrix} \alpha(A)b_{11} & 0 \\ * & A_{22} \circ B_{22} \end{bmatrix} \\ & = \det(A \circ B) - \alpha(A)b_{11} \det(A_{22} \circ B_{22}) \end{aligned}

帰納法の仮定より、

\det(A \circ B) \ge \alpha(A)b_{11}(b_{22} \cdots b_{nn} \det A_{22}) = b_{11}b_{22} \cdots b_{nn} \det A

式 \(A \circ B = B \circ A\) より、もう一方の不等式も同様に導かれる。

次に (7.8.18) を考える。これも \(n = 1\) の場合には明らかに正しい。\(n \ge 2\) の場合に帰納法を適用し、\(n-1\) 以下の次元で (7.8.18) が成り立つと仮定する。 \(\tilde{A} \circ B\) に対して (7.8.17) を適用すると、

(a_{11} - \alpha(A)) a_{22} \cdots a_{nn} \det B \le \det(\tilde{A} \circ B) = \det(A \circ B) - \alpha(A)b_{11} \det(A_{22} \circ B_{22})

さらに帰納法の仮定を \(\det(A_{22} \circ B_{22})\) に適用すると、

\begin{aligned} \det(A \circ B) & \ge (a_{11} - \alpha(A))a_{22} \cdots a_{nn} \det B \\ & \quad + \alpha(A)b_{11}\big(a_{22} \cdots a_{nn} \det B_{22} + b_{22} \cdots b_{nn} \det A_{22} - \det(A_{22}B_{22})\big) \end{aligned}

これを整理すると次のようになる：

\det(A \circ B) + \det(AB) - a_{11} \cdots a_{nn} \det B - b_{11} \cdots b_{nn} \det A \ge \alpha(A)\big(a_{22} \cdots a_{nn} - \det A_{22}\big) \big(b_{11} \det B_{22} - \det B\big)

式 (7.8.2) より \(a_{22} \cdots a_{nn} - \det A_{22} \ge 0\)、また式 (7.8.6) より \(b_{11} \det B_{22} - \det B \ge 0\) が成り立つ。したがって、

\det(A \circ B) + \det(AB) - a_{11} \cdots a_{nn} \det B - b_{11} \cdots b_{nn} \det A \ge 0

よって、不等式 (7.8.18) が示された。□

\(A, B \in M_n\) が正定値行列であるとき、上の定理から次を導け：

(\det A)(\det B) \le \det(A \circ B)

したがって、\(\det(A \circ A^{-1}) \ge 1\) が成り立つ。この不等式を (7.7.17(c)) と比較せよ。

\(A, B \in M_n\) が正定値行列であるとき、次が成り立つ理由を説明せよ：

(\det A)(\det B) \le a_{11} \cdots a_{nn} \det B \le \det(A \circ B) \le a_{11} \cdots a_{nn} b_{11} \cdots b_{nn}

最後に、異なる型の行列式不等式として、「エルミート部分が正定値である行列」に対する結果がある。これは複素数に関する不等式 \(|z| \ge |\Re z|\) から導かれる。