[行列解析7.8.1]定理：アダマールの不等式

7.8.1

定理 7.8.1（アダマールの不等式）　

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を半正定値行列とする。このとき次が成り立つ。

\det A \le a_{11} \cdots a_{nn}

等号が成り立つのは、\( A \) が対角行列である場合に限られる。

\( A \) は半正定値であるから、主対角要素はすべて正であり、また \( A \) はある相関行列と合同である。ここで

D = \operatorname{diag}(a_{11}^{1/2}, \ldots, a_{nn}^{1/2})

と定め、さらに

C = D^{-1} A D^{-1}

とおく。このとき \( C \) も半正定値であり、対角要素はすべて 1 である。したがって \(\operatorname{tr} C = n\) である。

\( C \) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。これらはすべて正の実数である。算術平均と幾何平均の不等式により、

\det C = \lambda_1 \cdots \lambda_n \le \left( \frac{1}{n} (\lambda_1 + \cdots + \lambda_n) \right)^n = \left( \frac{1}{n} \operatorname{tr} C \right)^n = 1

等号が成り立つのは、すべての \(\lambda_i = 1\) のとき、すなわち \( C = I \) のときに限られる。\( C \) はエルミート行列であり、したがって対角化可能であるから、この条件は確かに \( C = I \) と同値である。

したがって、

\det A = \det(D C D) = (\det C)(\det D)^2 = (\det C)(a_{11} \cdots a_{nn}) \le a_{11} \cdots a_{nn}

等号が成り立つのは、\( A = D C D = D^2 = \operatorname{diag}(a_{11}, \ldots, a_{nn}) \) のときに限られる。□

任意の正則行列 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) に対して、\(|\det A|\) は、\( A \) の列ベクトルを辺とする \( n \) 次元平行多面体の体積を表す。この体積は、辺が互いに直交するときに最大となり、そのときの体積は各辺の長さの積に等しい。

以下に述べるアダマールの不等式の別形式は、この幾何学的不等式を代数的に表現したものであり、複素数行列に対しても成立する。