[行列解析7.7.14]系：アダマール積に関する系

7.7.14 アダマール積に関する系

\( A, B, C, D \in M_n \) をエルミート行列とし、A および C が半正定値であるとする。任意の \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して

x^* A x \ge |x^* B x|, \quad x^* C x \ge |x^* D x|

が成り立つならば、任意の \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して次が成り立つ：

x^* (A \circ C) x \ge |x^* (B \circ D) x|

証明
仮定と (7.7.12) の (a) ⇒ (c) の含意により、次の行列が半正定値である：

\begin{bmatrix} A & B \\ B & A \end{bmatrix} \succeq 0, \quad \begin{bmatrix} C & D \\ D & C \end{bmatrix} \succeq 0

したがって、(7.5.3) により次が成り立つ：

\begin{bmatrix} A & B \\ B & A \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix} C & D \\ D & C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A \circ C & B \circ D \\ B \circ D & A \circ C \end{bmatrix} \succeq 0

結論は、(7.7.12) の (c) ⇒ (a) の含意から直ちに導かれる。

正定値行列の逆行列は正定値であり、正定値行列の任意の主小行列も正定値である。これらの操作を順序を変えて連続して適用すると、興味深い不等式を満たす行列が得られる。