[行列解析7.4.P9]

7.4.問題9
- 7.4.P9
行列解析の総本山

7.4.問題9

7.4.P9

\(\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta_1, \ldots, \beta_n\) を正の実数とする（順序は問わない）。次の不等式が知られている：

\sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i \le \sum_{i=1}^n \alpha_i^{\downarrow} \beta_i^{\downarrow}

カントロヴィッチ不等式を用いると、この関係の逆向きの不等式を次のように得る：

(4.7.12.18)

\sum_{i=1}^n \alpha_i^{\downarrow} \beta_i^{\downarrow} \le \frac{m + M}{2 \sqrt{m M}} \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i,

ただし、すべての \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( 0 \lt m \le \alpha_i / \beta_i \le M \lt \infty \) である。

(a) \( A = \mathrm{diag}(\alpha_1/\beta_1, \ldots, \alpha_n/\beta_n) \) および \( x = [\alpha_i \beta_i]_1^n \) とおく。\( (x^T A x)(x^T A^{-1} x) \) を計算し、(7.4.12.1) を用いてその上界を与えよ。
(b) \((\sum_i \alpha_i^{\downarrow} \beta_i^{\downarrow})^2 \le (\sum_i \alpha_i^2)(\sum_i \beta_i^2)\) が下界を与える。