7.4.10.2 ユニタリ不変行列ノルムの凸結合
系 7.4.10.2 \( \lVert \cdot \rVert_a \) および \( \lVert \cdot \rVert_b \) を \( M_n \) 上のユニタリ不変行列ノルムとする。また、\( \alpha \in [0,1] \) とする。このとき、次のように定義されるノルム
\alpha \lVert \cdot \rVert_a + (1 - \alpha)\lVert \cdot \rVert_b
は \( M_n \) 上のユニタリ不変行列ノルムである。
証明
まず、\( \alpha \lVert \cdot \rVert_a + (1 - \alpha)\lVert \cdot \rVert_b \) はユニタリ不変ノルムであることに注意する。さらに、任意の \( A \in M_n \) に対して次が成り立つ。
\alpha \lVert A \rVert_a + (1 - \alpha)\lVert A \rVert_b \geq \alpha \sigma_1(A) + (1 - \alpha)\sigma_1(A) = \sigma_1(A)
したがって、前の定理（定理 7.4.10.1）により、このノルムは行列ノルムであることが保証される。∎
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2025.08.05
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