定理 7.4.1.4（半正定値行列におけるトレースの等号条件）
行列 \( A = [a_{ij}] \in M_{m,n} \) とし、\( q = \min\{m, n\} \)、\( p = \max\{m, n\} \)、\( \alpha = \{1, \ldots, q\} \) とする。また、\( \sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_q \) を \( A \) の特異値の降順とする。このとき次が成り立つ：
\mathrm{Re}\, \mathrm{tr}(A) \le \sum_{i=1}^{q} \sigma_i
等号が成り立つのは、主小行列 \( A[\alpha] \) が半正定値であり、かつ \( A \) がこの主小行列の外に非零成分を持たない場合に限られる。
証明
ここでは等号が成り立つ場合のみを考える。主小行列 \( A[\alpha] \) が半正定値であるとき、その固有値はその特異値に等しい。さらに、\( A \) の他の要素がすべて 0 であるため、これらは \( A \) 全体の特異値でもある。したがって、\( A[\alpha] \) のトレースはその固有値の総和、すなわち \( A \) の特異値の総和である。
次に、\( \mathrm{Re}\!\left(\sum_{i=1}^{q} a_{ii}\right) = \sum_{i=1}^{q} \sigma_i \) が成り立つと仮定する。もし \( A = 0 \) なら証明すべきことはない。したがって、\( \mathrm{rank}(A) = r \ge 1 \) とする。必要に応じて \( A \) に零ブロックを付け加えて正方行列
A =
\begin{pmatrix}
A & 0_{m,\,p-n} \\
0_{p-m,\,n} & 0_{p-m,\,p-n}
\end{pmatrix}
\in M_p
を得る。この行列は \( A \) と同じトレースおよび特異値をもつ。ここで、薄い特異値分解（thin SVD）を用いて
A = V \Sigma_r W^{*}
と書く。ただし、\( V = [v_1, \ldots, v_r] \in M_{p,r} \)、\( W = [w_1, \ldots, w_r] \in M_{p,r} \) は直交列をもつ行列であり、 \( \Sigma_r = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r) \) である。
このとき、
\begin{aligned}
\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}(A)
&= \mathrm{Re} \sum_{i=1}^{q} a_{ii}
= \mathrm{Re} \sum_{i=1}^{p} \sum_{k=1}^{r} v_{ik} \sigma_k \overline{w_{ik}} \\
&= \sum_{k=1}^{r} \sigma_k \, \mathrm{Re}(w_k^{*} v_k)
= \sum_{k=1}^{r} \sigma_k = \sum_{k=1}^{q} \sigma_k
\end{aligned}
よって、各 \( k = 1, \ldots, r \) について次が成り立つ：
\mathrm{Re}(w_k^{*} v_k) = 1
さらに次の連鎖が成り立つ：
1 = \mathrm{Re}(w_k^{*} v_k)
\;(\gamma)\; \le |w_k^{*} v_k|
\;(\delta)\; \le \|v_k\|_2 \, \|w_k\|_2 = 1
等号が \((\delta)\) で成り立つこと、およびコーシー–シュワルツの等号成立条件から、各 \( k = 1, \ldots, r \) に対して スカラー \( d_k \) が存在し、\( v_k = d_k w_k \) が成り立つ。さらに、\((\gamma)\) の等号成立により \( d_k = 1 \) である。 したがって \( V = W \) となり、
A = V \Sigma_r V^{*}
が半正定値であることがわかる。したがって、その主小行列 \( A[\alpha] \) は半正定値であり（定理 7.1.2）、また それ以外の要素はすべて 0 である（定理 7.1.10）。
行列解析の総本山
コメント