7.2.問題28
7.2.P28
\( A \in M_n \) を半正定値とし、\( A = B^* B \) と表す（7.2.7 参照）。\( B = [b_1 \dots b_n] \)。
(a) A が相関行列であることと、各 \( b_j \) が単位ベクトルであることは同値であることを示せ。
(b) ベクトル \( x = [x_i] \in \mathbb{C}^n \) がバランスしているとは、各 i に対して \( |x_i| \le \sum_{j\ne i} |x_j| \) を満たすこととする。A が相関行列なら、零空間の任意のベクトルはバランスしていることを示せ。
(c) \( A = [a_{ij}] \) の任意の主対角成分が正であることと、各 \( b_j \ne 0 \) が同値であることを示せ。
(d) もし主対角成分が全て正なら、\( D = \mathrm{diag}(\sqrt{a_{11}}, \dots, \sqrt{a_{nn}}) \) とし、\( x \in \mathrm{nullspace} A \) に対して \(Dx\) がバランスしたベクトルであることを示せ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
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2025.08.05
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