7.2.問題24
7.2.P24
\( A \in M_n \) を半正定値行列とする。\( A = X^* X \) と表すことができ、これは列ベクトルからなる Gram 行列である（7.2.7a 参照）。\( k \in \{1, \dots, n\} \) とする。
(a) なぜ \( A \) の任意の k 次主小行列が 0 であることと、X の列から選んだ任意の k 個のベクトルが線形従属であることが同値なのか説明せよ。
(b) もし k 次の主小行列が全て 0 なら、\(\mathrm{rank} A \lt k\) であり、m \ge k の任意の主小行列も 0 であることを示せ。
(c) \( A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) を考え、A がエルミートであっても半正定値でない場合、(b) の主張が正しくない場合があることを説明せよ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
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2025.08.05
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