6.4.1
本節では、ゲルシュゴリンの定理を拡張したOstrowskiの定理を紹介する。この定理は、行と列の両方の情報を利用して固有値が存在する範囲を示すものであり、パラメータ \(\alpha \in [0, 1]\) によってゲルシュゴリン円板の「行版」と「列版」を連続的に補間する。
定理 6.4.1（Ostrowski）
\(A = [a_{ij}] \in M_n\)、\(\alpha \in [0,1]\) とする。行列 \(A\) の各要素に対して、次のように行と列の削除和を定義する。
R_i' = \sum_{j \ne i} |a_{ij}| , \quad
C_i' = \sum_{j \ne i} |a_{ji}|
すると、\(A\) の固有値は次の \(n\) 個の円板の和集合の中にすべて含まれる。
\bigcup_{i=1}^{n} \{\, z \in \mathbb{C} : |z - a_{ii}| \le R_i'^{\,\alpha} \, C_i'^{\,1 - \alpha} \, \}
証明：
まず、\(\alpha = 0\) および \(\alpha = 1\) の場合は、それぞれ式 (6.1.1) および (6.1.3) によりすでに示されている。したがって \(0 \lt \alpha \lt 1\) の場合を考える。さらに、全ての \(R_i' > 0\) と仮定できる。なぜなら、もし \(R_i' = 0\) である行があれば、その行に小さな非零項を加えることで摂動を与えることができる。その結果得られる行列の固有値包含集合は元の集合より大きくなるため、摂動を0に近づけた極限で元の結果が得られるからである。
次に、\(Ax = \lambda x\)、\(x = [x_i] \ne 0\) とする。このとき各 \(i = 1, 2, \ldots, n\) について次が成り立つ。
|\lambda - a_{ii}|\, |x_i| =
\left| \sum_{j \ne i} a_{ij} x_j \right|
\le \sum_{j \ne i} |a_{ij}|\,|x_j|
これに対して、\(|a_{ij}|\) を \(|a_{ij}|^{\alpha}\) と \(|a_{ij}|^{1-\alpha}|x_j|\) に分けてホルダーの不等式（付録B）を適用すると次を得る。
|\lambda - a_{ii}|\, |x_i|
\le R_i'^{\,\alpha}
\left(
\sum_{j \ne i} |a_{ij}|\, |x_j|^{1/(1-\alpha)}
\right)^{1-\alpha}
ここで \(R_i' > 0\) なので、これを変形すると次のように書ける。
\frac{|\lambda - a_{ii}|}{R_i'^{\,\alpha}} |x_i|
\le
\left(
\sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|\, |x_j|^{1/(1-\alpha)}
\right)^{1-\alpha}
両辺を \(1/(1-\alpha)\) 乗して整理すると、
\left( \frac{|\lambda - a_{ii}|}{R_i'^{\,\alpha}} \right)^{1/(1-\alpha)} |x_i|^{1/(1-\alpha)}
\le \sum_{j \ne i} |a_{ij}|\, |x_j|^{1/(1-\alpha)}
これをすべての \(i\) について足し合わせると次が得られる。
\sum_{i=1}^{n}
\left( \frac{|\lambda - a_{ii}|}{R_i'^{\,\alpha}} \right)^{1/(1-\alpha)} |x_i|^{1/(1-\alpha)}
\le
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j \ne i} |a_{ij}|\, |x_j|^{1/(1-\alpha)}
=
\sum_{j=1}^{n} C_j' |x_j|^{1/(1-\alpha)}
もしすべての \(i\) について \(\left( \frac{|\lambda - a_{ii}|}{R_i'^{\,\alpha}} \right)^{1/(1-\alpha)} > C_i'\) が成り立つなら、上の不等式は成立しない。したがって、ある \(k \in \{1, \ldots, n\}\) が存在して \(x_k \ne 0\) かつ
\left( \frac{|\lambda - a_{kk}|}{R_k'^{\,\alpha}} \right)^{1/(1-\alpha)} \le C_k'
となる。したがって、
|\lambda - a_{kk}| \le R_k'^{\,\alpha} C_k'^{\,1-\alpha}
よって固有値 \(\lambda\) は集合 (6.4.3) に属することが示された。証明完了。
ブラウアーの定理とゲルシュゴリンの定理の関係
演習：
行列 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 6 \end{bmatrix} \) を考えよう。ゲルシュゴリンの行列の行に基づく円板および列に基づく円板と、\(\alpha = \tfrac{1}{2}\) のときのオストロフスキーの集合を比較せよ。オストロフスキーの定理は \(A\) のスペクトル半径にどのような評価を与えるか。また、それはゲルシュゴリンの評価式 (6.1.5) とどのように比較できるかを述べよ。
演習：
式 (6.1.6) のオストロフスキー版はどのようなものであるか。
次に示す定理は A. ブラウアーによるものであり、ゲルシュゴリンの定理の要素を含みながらも異なる特徴を持つ。ここでは、行を2つずつまとめて考え、固有値の包含集合は円ではなく「カッシーニの卵形（Cassini oval）」と呼ばれる集合になる。証明の考え方はゲルシュゴリンの定理の証明と似ているが、固有ベクトルの中で絶対値の大きい2つの成分を選び出す点が異なる。ブラウアーの固有値包含集合は、ゲルシュゴリンの包含集合の部分集合である。
行列解析の総本山
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