6.3.8
系6.3.8．\(A, E \in M_n\) とする。\(A\) がエルミートであり、\(A+E\) が正規であると仮定する。\(A\) の固有値を昇順に \(\lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n\) とし、\(A+E\) の固有値を実部の昇順で \(\operatorname{Re}\hat{\lambda}_1 \le \cdots \le \operatorname{Re}\hat{\lambda}_n\) と並べる。このとき次が成り立つ：
\sum_{i=1}^n \lvert \hat{\lambda}_i - \lambda_i \rvert^2 \le \|E\|_F^2
証明
先行する定理により、ある置換 \(\sigma(\cdot)\) が存在して次が成り立つ：
\sum_{i=1}^n \lvert \hat{\lambda}_{\sigma(i)} - \lambda_i \rvert^2 \le \|E\|_F^2
\tag{6.3.9}
もしリスト \(\hat{\lambda}_{\sigma(1)}, \dots, \hat{\lambda}_{\sigma(n)}\) がすでに実部の昇順になっているなら、証明すべきことはない。そうでない場合、隣接する固有値の中に、\(\operatorname{Re}\hat{\lambda}_{\sigma(k)} \gt \operatorname{Re}\hat{\lambda}_{\sigma(k+1)}\) を満たすものがあるとする。このとき次の等式が成り立つ：
|\hat{\lambda}_{\sigma(k)} - \lambda_k|^2
+ |\hat{\lambda}_{\sigma(k+1)} - \lambda_{k+1}|^2
= |\hat{\lambda}_{\sigma(k+1)} - \lambda_k|^2
+ |\hat{\lambda}_{\sigma(k)} - \lambda_{k+1}|^2
+ \delta^{(k)}
ここで、
\delta^{(k)} = 2(\lambda_k - \lambda_{k+1})
(\operatorname{Re}\hat{\lambda}_{\sigma(k+1)} - \operatorname{Re}\hat{\lambda}_{\sigma(k)}) \ge 0
したがって次が成り立つ：
|\hat{\lambda}_{\sigma(k)} - \lambda_k|^2
+ |\hat{\lambda}_{\sigma(k+1)} - \lambda_{k+1}|^2
\ge
|\hat{\lambda}_{\sigma(k+1)} - \lambda_k|^2
+ |\hat{\lambda}_{\sigma(k)} - \lambda_{k+1}|^2
したがって、固有値 \(\hat{\lambda}_{\sigma(k)}\) と \(\hat{\lambda}_{\sigma(k+1)}\) を入れ替えても、式(6.3.9)の左辺の二乗誤差和は増加しない。このような入れ替えを有限回繰り返すことで、固有値リスト \(\hat{\lambda}_{\sigma(1)}, \dots, \hat{\lambda}_{\sigma(n)}\) を \(\hat{\lambda}_1, \hat{\lambda}_2, \dots, \hat{\lambda}_n\) に変換できる。 これにより主張が証明された。■
補足と演習
上の系の特別な場合として、\(A\) および \(A+E\) がどちらもエルミート（あるいは実対称）であるときが挙げられる。この場合の一般化は式(7.4.9.3)を参照せよ。
演習1： \(A, E \in M_n\) がエルミートであり、それぞれの固有値が同じ順序（昇順または降順）に並んでいるとする。このとき次が成り立つことを説明せよ。
\sum_{i=1}^n (\lambda_i(A+E) - \lambda_i(A))^2 \le \|E\|_F^2
演習2： 次の行列を考える。
A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 4
\end{bmatrix},
\quad
E =
\begin{bmatrix}
-1 & -1 \\
1 & -3
\end{bmatrix}.
このとき、定理(6.3.5)の主張は、\(A\) または \(A+E\) のいずれかが正規でない場合には必ずしも成り立たないことを説明せよ。ヒント：どのような固有値の順序でも、
\sum_{i=1}^2 (\lambda_i(A+E) - \lambda_i(A))^2 = 16
さらに、もし \(A\) が対角化可能でない場合、(6.3.2) のように簡潔に表せる上界は知られていない。しかし、単純固有値が行列要素の摂動によってどのように変化するかを与える明示的な式が存在する。次節で導くその式は、(1.4.7) および (1.4.12) に示した基本事実に基づいている。
行列解析の総本山
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