6.3.5
定理6.3.5．
\(A, E \in M_n\) とし、\(A\) と \(A+E\) の両方が正規であると仮定する。\(A\) の固有値をある順序で \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)、\(A+E\) の固有値をある順序で \(\hat{\lambda}_1,\dots,\hat{\lambda}_n\) とする。このとき、整数 \(1,\dots,n\) の置換 \(\sigma(\cdot)\) が存在して次が成り立つ：
\sum_{i=1}^n \lvert \hat{\lambda}_{\sigma(i)} - \lambda_i \rvert^2 \le \|E\|_F^2
= \operatorname{tr}(E^* E)
証明
\(\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)、\(\hat{\Lambda}=\operatorname{diag}(\hat{\lambda}_1,\dots,\hat{\lambda}_n)\) とし、単位行列に関するユニタリ行列 \(V,W\in M_n\) を用いて \(A=V\Lambda V^*\)、\(A+E=W\hat{\Lambda}W^*\) と表す。さらに \(U=V^*W=[u_{ij}]\) と置く。
フロベニウス（Frobenius）ノルムのユニタリ不変性を用いると、
\|E\|_F^2
= \|(A+E)-A\|_F^2
= \|W\hat{\Lambda}W^* - V\Lambda V^*\|_F^2
= \|V^*(W\hat{\Lambda}W^* - V\Lambda V^*)V\|_F^2
= \|U\hat{\Lambda} - \Lambda U\|_F^2
右辺を成分展開すると、
\|U\hat{\Lambda} - \Lambda U\|_F^2
= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lvert \hat{\lambda}_i - \lambda_j \rvert^2 \, |u_{ij}|^2 .
一方、行列 \([|u_{ij}|^2]\) は二重確率行列（doubly stochastic）であることに注意する（(4.3.49) の証明と同様の観察）。したがって
\|E\|_F^2
= \sum_{i,j} \lvert \hat{\lambda}_i - \lambda_j \rvert^2 \, |u_{ij}|^2
\ge \min \Big\{ \sum_{i,j} \lvert \hat{\lambda}_i - \lambda_j \rvert^2 s_{ij} :
S=[s_{ij}] \text{ は二重確率行列} \Big\}.
関数 \(f(S)=\sum_{i,j} \lvert \hat{\lambda}_i - \lambda_j \rvert^2 s_{ij}\) は、二重確率行列全体というコンパクト凸集合上の線形関数である。したがってビルコフの定理の系（(8.7.3)）により、最小値は置換行列 \(P=[p_{ij}]\) で達成される。置換 \(P^T\) に対応する置換 \(\sigma(\cdot)\) を取れば、
\|E\|_F^2
\ge \sum_{i,j} \lvert \hat{\lambda}_i - \lambda_j \rvert^2 p_{ij}
= \sum_{i=1}^n \lvert \hat{\lambda}_{\sigma(i)} - \lambda_i \rvert^2,
これで主張が示された。■
定理6.3.5は、正規行列の固有値が摂動に対して非常に安定であることを示す強力な結果である。ただし、右辺の不等式を満たす置換を自動的に与えるものではないことに注意せよ。全ての置換がこの不等式を満たすわけではなく、逆向きの不等式が成り立つ置換も常に存在する（参照：(6.3.P8)）。しかし、エルミート行列（実対称行列）などの場合は、固有値を自然な順序（昇順・降順）に並べるだけで対応できることが多い。
行列解析の総本山
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