[行列解析6.2.2]補題：ゲルシュゴリン円盤の性質

6.2.2

補題6.2.2.

行列 \(A = [a_{ij}] \in M_n\) と複素数 \(\lambda \in \mathbb{C}\) を考える。

(a) \(\lambda\) が任意のゲルシュゴリン円盤の内部に含まれないことは、次の不等式がすべての \(i = 1, \ldots, n\) に対して成り立つことと同値である。

\lvert \lambda - a_{ii} \rvert \ge R_i, \quad \text{ただし} \quad R_i = \sum_{j \ne i} \lvert a_{ij} \rvert \quad (i = 1, \ldots, n)

(b) \(\lambda\) が式 (6.1.2) におけるゲルシュゴリン集合 \(G(A)\) の境界上にあるならば、\(\lambda\) は不等式 (6.2.2a) を満たす。

演習. 上の補題を証明せよ。

演習. 点 \(\lambda = 0\) と次の行列を考えよ。

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & i \end{bmatrix} \oplus \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -i \end{bmatrix}

なぜ \(G(A)\) の内部にある点が不等式 (6.2.2a) を満たしうるのかを説明せよ。

補題 (6.1.1) の証明を注意深く解析すると、行列 \(A\) の固有値が不等式 (6.2.2a) を満たす場合、特にその固有値が \(G(A)\) の境界上にある場合に何が起こるのかが明らかになる。