[行列解析5.8.P5]

5.8.問題5
- 5.8.P5
行列解析の総本山

5.8.問題5

5.8.P5

逆行列の条件数は用いるノルムによって異なるが、すべての条件数は同値であることを示しなさい。

すなわち、\(\kappa_\alpha(A)=\|A^{-1}\|_\alpha\|A\|_\alpha\) と \(\kappa_\beta(A)=\|A^{-1}\|_\beta\|A\|_\beta\) に対して、正の定数 \(C_{\alpha,\beta},C_{\beta,\alpha}\) が存在して全ての \(A\) について

C_{\alpha,\beta}\,\kappa_\alpha(A)\le \kappa_\beta(A)\le C_{\beta,\alpha}\,\kappa_\alpha(A)

が成り立つことを示しなさい。

解説メモ：有限次元空間上のノルムは互いに同値である（定数で上下から挟める）ので、行列ノルムにも同様の比較定数が導けます。

行列解析の総本山

[行列解析]総本山

行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。