[行列解析5.8.P2]

5.8.問題2
- 5.8.P2
行列解析の総本山

5.8.問題2

5.8.P2

正規行列

A_\varepsilon=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 1+\varepsilon\end{pmatrix},\quad \varepsilon>0

の固有値と逆行列を計算し、\(\varepsilon\to 0\) のとき最大固有値と最小固有値の比が \(O(\varepsilon^{-1})\) であることを示しなさい。

これによりスペクトルノルムに関する条件数 \(\kappa(A_\varepsilon)=O(\varepsilon^{-1})\) が導かれます。さらに \(A_\varepsilon^{-1}\) の正確形から任意のノルムについても \(\kappa(A_\varepsilon)=O(\varepsilon^{-1})\) であることを確認しなさい。

解説メモ：2×2 の固有値は直接求まり、最小固有値が小さくなるため比が発散します。逆行列の要素も \(\varepsilon^{-1}\) オーダーの項を含むためノルムは同オーダーになります。