[行列解析5.7.P18]

5.7.問題18

5.7.P18

もし \(G(\cdot)\) が単位元を 1 にする（unital）ノルムであるならば、なぜ \(m(G)\ge 1\) か説明してください。さらに、Mn 上のスペクトル支配的な単位元ノルムはなぜ最小限にスペクトル支配的であるかを説明してください。誘導される任意の行列ノルム（induced matrix norm）が最小限にスペクトル支配的である理由、そして数値半径が最小限にスペクトル支配的である理由も説明してください。

解説メモ：単位行列 \(I\) に対して \(G(I)=1\) ならば、スペクトル半径 \(\rho(I)=1\) から最大のスペクトル特性は少なくとも 1 になることが直ちに分かります。誘導ノルムや数値半径が最小限にスペクトル支配的である理由は、それらが単位行列の評価とスペクトル半径・値域の関係により \(m(G)=1\) を満たすためです。