[行列解析5.7.P17]

5.7.問題17

5.7.P17

\(G(\cdot)\) が \(M_n\) 上のノルムであるとき、スペクトル特性（spectral characteristic）を

m(G) = \max_{G(A)\le 1} \rho(A)

と定義します。次を示してください：\(G(\cdot)\) がスペクトル支配的（spectrally dominant）であることと \(m(G)\le 1\) であることは同値です。また、任意の行列ノルム \(G(\cdot)\) は定数倍によりスペクトル支配的なノルムに変換でき、その最小の定数は \(m(G)\) であること。さらに、\(m(G)=1\) のとき \(G(\cdot)\) を「最小限にスペクトル支配的」であるという定義に一致します。

解説メモ：定義から直接に導けます。もし \(m(G)\le 1\) ならば \(G(A)\le 1\) が \(\rho(A)\le 1\) を意味し、スペクトル支配的性質を満たします。逆も同様です。定数倍で境界を調整する考え方を示します。