[行列解析5.7.20]定理：スペクトル優越ノルムの必要十分条件

5.7.20

定理 5.7.20. \(M_n\) 上のノルム \(G(\cdot)\) はスペクトル優越であることと、各 \(A \in M_n\) に対して、正の定数 \(\gamma_A\)（A と G(\(\cdot\)) のみに依存）が存在し、すべての \(k = 1, 2, \dots\) に対して

G(A^k) \leq \gamma_A \, G(A)^k

が成り立つことは同値である（5.7.20a）。

必要性のみを示せばよい。まず \(A \in M_n\) で \(G(A) = 1 \geq \rho(A)\) と仮定する。前の補題により、A の各ジョルダンブロックは

J_m(\lambda)

の形をもち、ここで \(|\lambda| \leq 1\)、\(|\lambda| = 1\) の場合は m = 1 となる。したがって、

1. \(|\lambda| \lt 1\) の場合、\(J_m(\lambda)^k \to 0\) （参照：5.6.12）、

2. \(|\lambda| = 1\) かつ m = 1 の場合、\(J_m(\lambda)^k = \lambda^k\) は k = 1, 2, ... に対して有界列となる。

したがって、すべての行列 \(A, A^2, A^3, \dots\) の成分は有界集合内に存在することが従い、必要条件が示される。