[行列解析5.7.14]定理：両立するノルムとスペクトル優越性

5.7.

定理 5.7.14. \(G(\cdot)\) を \(M_n\) 上のノルムとし、\(\|\cdot\|\) を \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムとする。もし \(G(\cdot)\) が \(\|\cdot\|\) と両立しているならば、次が成り立つ：

G(A_1)\cdots G(A_k) \geq \rho(A_1\cdots A_k), \quad \forall A_1,\ldots,A_k \in M_n, \; k=1,2,\ldots \tag{5.7.15}

特に、\(G(A)\) はスペクトル優越的である。

証明. まず \(k=2\) の場合を考える。非零ベクトル \(x \in \mathbb{C}^n\) をとり、\(A_1A_2x = \lambda x\) かつ \(|\lambda| = \rho(A_1A_2)\) となるとする。このとき：

\rho(A_1A_2)\|x\| = \|\lambda x\| = \|A_1A_2x\| = \|A_1(A_2x)\| \leq G(A_1)\|A_2x\| \leq G(A_1)G(A_2)\|x\|

\(\|x\| \neq 0\) なので、\(\rho(A_1A_2) \leq G(A_1)G(A_2)\) が従う。一般の場合は帰納法で得られる。

演習. 上の定理において、\(k=1\) および \(k=3\) の場合を確認せよ。

どのような \(M_n\) 上のベクトルノルムが、ある \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムと両立するだろうか？条件 (5.7.15) は必要条件である。これが十分条件であることを示すには、技術的補題が必要となる。