[行列解析5.6.40]定理:誘導行列ノルムの双対に関する考察

5.6.40

定理 5.6.40. \( \lVert \cdot \rVert \) を \(M_n\) 上の行列ノルムとする。このとき、すべての \(A, B \in M_n\) に対して

\lVert AB \rVert^D \leq \max \left( \lVert A^{*} \rVert \, \lVert B \rVert^D , \, \lVert A \rVert^D \, \lVert B^{*} \rVert \right)

が成り立つ。さらに、すべての \(A \in M_n\) について \( \lVert A^{*} \rVert \leq \lVert A \rVert^D \) が成立するならば、\( \lVert \cdot \rVert^D \) は \(M_n\) 上の行列ノルムである。

証明. ここでは2つ目の上界のみを示す。まず、\(\lVert X \rVert = 1\) かつ \(|\mathrm{tr}(X^{*}AB)| = \lVert AB \rVert^D\) となる \(X \in M_n\) を取る。ノルムの劣乗法性を使うと次を得る：

\lVert AB \rVert^D \\ = |\mathrm{tr}(X^{*}AB)| \\ = |\mathrm{tr}((XB^{*})^{*} A)| \\ \leq \lVert XB^{*} \rVert \, \lVert A \rVert^D \\ \leq \lVert X \rVert \, \lVert B^{*} \rVert \, \lVert A \rVert^D \\ = \lVert A \rVert^D \, \lVert B^{*} \rVert

もしすべての \(B \in M_n\) に対して \(\lVert B^{*} \rVert \leq \lVert B \rVert^D\) が成り立つならば、すべての \(A, B \in M_n\) について

\lVert AB \rVert^D \leq \lVert A \rVert^D \lVert B^{*} \rVert \leq \lVert A \rVert^D \lVert B \rVert^D

が得られる。□

演習. \(M_n\) 上の誘導行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert_1\) （式 (5.6.4) 参照）の双対は、次で与えられるノルム \(N_{\infty}(A)\) であることを示せ：

N_{\infty}(A) = \sum_{j=1}^{n} \lVert a_j \rVert_{\infty},

ここで \(A = [a_1 \ \cdots \ a_n]\) は列ごとに分割されている。すべての \(A \in M_n\) に対して

\lVert A^{*} \rVert_1 \leq N_{\infty}(A)

が成り立ち、\(\mathrm{rank}(A) \leq 1\) のとき等号が成立することを示せ。この不等式と前の定理から、\(N_{\infty}(A)\) は行列ノルムでなければならないことが分かる。（計算による証明は (5.6.0.5) を参照。）なぜ \(N_{\infty}(\cdot)\) は誘導行列ノルムではないのかを説明せよ。

もし \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\) が対角行列ならば、

\lVert \Lambda \rVert_1 = \max_i |\lambda_i|, \quad \\ \lVert \Lambda \rVert^D_1 = N_{\infty}(\Lambda) = |\lambda_1| + \cdots + |\lambda_n|

となることを確認せよ。ここで \(\lVert \cdot \rVert_1\) は絶対値付きベクトルノルムから誘導されていることに注意する。

ヒント.

\lVert A \rVert^D_1 \\ = \max_{\lVert B \rVert_1 = 1} |\mathrm{tr}(B^{*}A)| \\ \leq \max_{\lVert B \rVert_1 = 1} \sum_{j=1}^{n} |b_j^{*} a_j| \\ \leq \max_{\lVert B \rVert_1 = 1} \sum_{j=1}^{n} \lVert a_j \rVert_{\infty} \\\lVert b_j \rVert_1 \\ \leq \sum_{j=1}^{n} \lVert a_j \rVert_{\infty}

等号が達成されるような 0–1 行列 \(E_{ij}\) の線形結合を構成し、\(\lVert \cdot \rVert^D_1 = N_{\infty}(\cdot)\) を結論せよ。

以上より、行列ノルムの双対が必ずしも行列ノルムになるとは限らないこと、また誘導行列ノルムの双対が誘導ではない行列ノルムとなり得ることを確認した。次の定理は「誘導行列ノルムの双対は常に行列ノルムである」と述べており、これは新たな行列ノルムを構成する方法を与える。すなわち、任意の誘導行列ノルムの双対を取ればよい。