[行列解析5.6.34]定理：ユニタリ不変ノルムとスペクトルノルムの関係

5.6.34

定理 5.6.34. \( \lVert \cdot \rVert \) を \( M_n \) 上のユニタリ不変な行列ノルムとし、\( z \in \mathbb{C}^n \) が零でないとする。

このとき次が成り立つ。

(5.6.27)

\lVert x \rVert_{z} = \lVert xz^{*} \rVert \quad \text{for any} \; x \in \mathbb{C}^n

(a) (5.6.27) により定義されるベクトルノルム \( \lVert \cdot \rVert_z \) はユニタリ不変である。

(b) \( \lVert \cdot \rVert_z \) はユークリッドノルムのスカラー倍である。すなわち、正のスカラー \( c_z \) が存在して、\( \lVert \cdot \rVert_z = c_z \lVert \cdot \rVert_2 \) となる。

(d) 任意の \( A \in M_n \) に対して \( \lVert A \rVert_2 \leq \lVert A \rVert \) が成り立つ。

(e) もし \( \lVert \cdot \rVert \) が誘導された（かつユニタリ不変な）ノルムならば、それはスペクトルノルムである。

証明. (a) \( U \in M_n \) がユニタリならば、

\lVert Ux \rVert_z = \lVert \, |Ux z^{*}| \, \rVert = \lVert x z^{*} \rVert = \lVert x \rVert_z

(b) 任意の \( x \in \mathbb{C}^n \) に対し、ユニタリ行列 \( U \in M_n \) が存在して \( Ux = \lVert x \rVert_2 e_1 \) となる (2.1.13)。したがって、

\lVert x \rVert_z = \lVert Ux \rVert_z \\ = \lVert | Ux z^{*} | \rVert \\ = \lVert | \, \lVert x \rVert_2 e_1 z^{*} \, | \rVert \\ = \lVert x \rVert_2 \, \lVert e_1 z^{*} \rVert

N_z(A) = \max_{x \neq 0} \frac{\lVert Ax \rVert_z}{\lVert x \rVert_z} \\ = \max_{x \neq 0} \frac{c_z \lVert Ax \rVert_2}{c_z \lVert x \rVert_2} \\ = \max_{x \neq 0} \frac{\lVert Ax \rVert_2}{\lVert x \rVert_2} \\ = \lVert A \rVert_2

(d) この主張は (5.6.26(b)) である。

(e) この主張は (5.6.26(c)) である。■

もし \( \lVert \cdot \rVert \) が \( M_n \) 上のノルムならば、次のように定義される関数

\lVert A \rVert^{\#} = \lVert A^{*} \rVert

もまた \( M_n \) 上のノルムとなり、さらに \((\lVert A \rVert^{\#})^{\#} = \lVert A \rVert\) が成り立つ。このノルム \(\lVert \cdot \rVert^{\#}\) を \(\lVert \cdot \rVert\) の随伴（adjoint）と呼ぶ。

演習. \( M_n \) 上の行列ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) に対し、その随伴もまた行列ノルムであることを示せ。

さらに計算により、任意の \( A \in M_n \) に対して

\lVert A \rVert^{\#}_2 = \lVert A^{*} \rVert_2 = \lVert A \rVert_2, \quad \\ \lVert A \rVert^{\#}_1 = \lVert A^{*} \rVert_1 = \lVert A \rVert_1

が成り立つ。しかし、すべてのノルムや行列ノルムがこの性質を持つわけではなく、例えば \( \lVert \cdot \rVert^{\#}_1 = \lVert \cdot \rVert_{\infty} \) である。

すべての \( A \in M_n \) に対して \(\lVert A \rVert = \lVert A \rVert^{\#}\) が成り立つとき、そのノルムを自己随伴（self-adjoint）と呼ぶ。\( l_1 \) 行列ノルム、フロベニウスノルム、スペクトルノルムはいずれも自己随伴である。

演習. \( M_n \) 上の任意のユニタリ不変ノルムが自己随伴であることを示し、ユニタリ不変ではない自己随伴ノルムの例を挙げよ。ヒント：もし \( A = V \Sigma W^{*} \) が特異値分解で、ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) がユニタリ不変ならば、\(\lVert A \rVert = \lVert \Sigma \rVert\) となる。

スペクトルノルムは、自己随伴である唯一の誘導行列ノルムとして際立っている。