5.6.26
\(\mathbb{M}_n\) 上に行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\)、誘導行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert_{\alpha}\) を与える。また、非零ベクトル \(z \in \mathbb{C}^n\) を固定し、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して次を定義する：
\lVert x \rVert_{z} = \lVert xz^{*} \rVert \quad \text{for any} \; x \in \mathbb{C}^n
このとき次が成り立つ：
(a) \(\lVert \cdot \rVert_{z}\) は \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムである。
(b) 誘導行列ノルム
N_{z}(A) = \max_{x \ne 0} \frac{\lVert Ax \rVert_{z}}{\lVert x \rVert_{z}} \\
= \max_{x \ne 0} \frac{\lVert Axz^{*} \rVert}{\lVert xz^{*} \rVert}
はすべての \(A \in \mathbb{M}_n\) に対して不等式 \(N_{z}(A) \le \lVert A \rVert\) を満たす。
(c) \(\lVert A \rVert \le \lVert A \rVert_{\alpha}\) がすべての \(A \in \mathbb{M}_n\) に対して成り立つための必要十分条件は、すべての \(A \in \mathbb{M}_n\) に対して
N_{z}(A) = \lVert A \rVert = \lVert A \rVert_{\alpha}
が成り立つことである。
証明の概要
(a) \(\lVert \cdot \rVert_{z}\) がノルムの公理 (5.1.1) を満たすことは直接確認できる。ここで \(\lVert \cdot \rVert\) の劣乗法性は不要である。
(b) 劣乗法性を用いて次のように計算できる：
N_{z}(A) \\
= \max_{x \ne 0} \frac{\lVert Axz^{*} \rVert}{\lVert xz^{*} \rVert} \\
\le \max_{x \ne 0} \frac{\lVert A \rVert \, \lVert xz^{*} \rVert}{\lVert xz^{*} \rVert} \\
= \lVert A \rVert
(c) もし \(\lVert A \rVert \le \lVert A \rVert_{\alpha}\) が成り立つならば、(b) より \(N_{z}(A) \le \lVert A \rVert \le \lVert A \rVert_{\alpha}\) となる。ここで \(N_{z}(\cdot)\) と \(\lVert \cdot \rVert_{\alpha}\) はともに誘導ノルムであるから、(5.6.25) より両者は一致する。すなわち \(N_{z}(A) = \lVert A \rVert_{\alpha}\) である。
演習
\(\mathbb{M}_n\) 上の誘導行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) を与え、(5.6.28) で定義される \(N_{z}(\cdot)\) を考える。
このときすべての非零 \(z \in \mathbb{C}^n\) に対して \(N_{z}(\cdot) = \lVert \cdot \rVert\) であることを示せ。
この結果は別の方法でも導ける。
与えられた誘導行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) に対し、(5.6.2(d)) および (5.5.9(d)) を用いると次を得る：
\lVert Axz^{*} \rVert \\
= \max_{\lVert \xi \rVert = \lVert \eta \rVert^{D} = 1}
|\eta^{*} A x z^{*} \xi| \\
= \max_{\lVert \eta \rVert^{D} = 1} |\eta^{*} A x|
\max_{\lVert \xi \rVert = 1} |\xi^{*} z| \\
= \lVert Ax \rVert^{DD} \, \lVert z \rVert^{D} \\
= \lVert Ax \rVert \, \lVert z \rVert^{D}
特に \(A = I\) の場合、次を得る：
\lVert xz^{*} \rVert = \lVert x \rVert_{z} = \lVert x \rVert \, \lVert z \rVert^{D}
\(z \ne 0\) のとき、次が成り立つ：
N_{z}(A)
= \max_{x \ne 0} \frac{\lVert Axz^{*} \rVert}{\lVert xz^{*} \rVert} \\
= \max_{x \ne 0} \frac{\lVert Ax \rVert \lVert z \rVert^{D}}{\lVert x \rVert \lVert z \rVert^{D}} \\
= \max_{x \ne 0} \frac{\lVert Ax \rVert}{\lVert x \rVert}
= \lVert A \rVert
以上の結果は、誘導ノルムおよび最小ノルムに関する定義とその性質を導く動機となる。
行列解析の総本山
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